| 【問題】ひもを２つに切り、一方で円を、もう一方で正方形を作る。 このとき、円と正方形の面積和を最小にするには、ひもをどの様に切ればよいか。 |
| 【解】ひもの長さを | | とする。 |
| ひもを水平に置き、左から |  | の長さのところで２つに切り、長さ | | の方で円を、 |
| 長さ |  | の方で正方形を作るものとする。 |  | である。 |
| 円の半径を |  | とすると、 |  | より |  | 。 |
| 正方形の一辺の長さを |  | とすると、 |  | より |  | 。 |
| ここで、円と正方形の面積和を |  | とおくと、 |
| は | | についての２次関数で、そのグラフは下に凸の放物線であるから、 |
 | のとき、 |
| その面積和の最小値は |  | となる。 |
| このとき、 |  | である。 |
| 【答】ひもを |  | に内分するところで切って、 |  | の比の長さで切ったひもで円を、 |
| 残りのひもで正方形を作ったとき、その面積和は最小となる。 |