■n!の桁数の近似式

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タイトルにある近似式は，高校3年生のときに考えました。 そして大学生のときに数学セミナーに応募して，1980年7月号に掲載されました。 当時はPCも電卓もなく，丸善対数表（7桁）を使って計算しました。 掲載されてから思ったのですが，Mnの近似式には，次のように2を加えておくべきでした。 Mn=[nlog(n/e)]+2 Mathematicaで計算した結果を比較のために載せておきます。 不思議なことに10n!の桁数には， 1-log10e=0.565705518096748172348871081083 が現れています。 n Nn Mn (Nn-Mn)/n 10 7 7 0 102 158 158 0 103 2568 2567 1×10-3 104 35660 35659 1×10-4 105 456574 456572 2×10-5 106 5565709 5565707 2×10-6 107 65657060 65657057 3×10-7 108 756570557 756570553 4×10-8 109 8565705523 8565705520 3×10-9 1010 95657055187 95657055182 5×10-10 1011 1056570551816 1056570551811 5×10-11 1012 11565705518104 11565705518098 6×10-12 1013 125657055180975 125657055180969 6×10-13 1014 1356570551809683 1356570551809676 7×10-14 1015 14565705518096757 14565705518096750 7×10-14 （2002.11.5） （2013.6.6）