■趣味の数学問題集・Ａ問題
  1. 整式f(x)=(x4+4)(x4-8x2+4)+64x2について，次の問いに答えよ．
    (1) f(x)を因数分解せよ．
    (2) 方程式 f(x)=0 を解け．

  2. Fn=(a+b+c)2n+1-(a2n+1+b2n+1+c2n+1)(n=1,2,3,4,5) を因数分解せよ．

  3. 3次方程式 x3-3x+1=0 の1つの解を α とするとき，次の式の値を求めよ．
    　　　

  4. xに関する不等式
    　　　
    は -1≦x≦1のとき，常に成り立つという．このとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．

  5. 整式 f(x)は，f(1+x)+f(1-x)=2x2, f(3)=-3f(-1) を満たしており，方程式 f(x)=0 は2重解をもつ．このような次数が4次以下の整式 f(x) を求めよ．

  6. 3次方程式 x3+px2+qx+r=0 の3つの解を α,β,γ とするとき，次の式を p,q,r を用いて表せ．
    　　　D=(α-β)2(β-γ)2(γ-α)2

  7. 3次方程式 f(x)=x3+ax2+bx+c=0 は相異なる3つの整数解をもち，ある整数 n とある素数 p に対して， f(n)+p=0 が成り立つとき，次の問いに答えよ．
    (1) a,b,c を n,p で表せ．
    (2) a,b,c の関係式を求めよ．

  8. 次の方程式の1つの解をθとおくとき，他の解をθの最低次の整式として表せ．
    (1) x3-3x+1=0
    (2) x3+x2-2x-1=0
    (3) x3+x2-4x+1=0
    (4) x3+x2-6x-7=0

  9. 有理係数の整式 f(x)=x3+ax2+bx+c は有理数の範囲で因数分解できなく，
    　　　
    が有理数であるとする．このとき，方程式 f(x)=0 の1つの解をθとするとき，他の解をθの最低次の整式として表せ．

  10. 2次方程式 x2+(a+b-p-q)x+ab-bp-aq=0 (a,b,p,q は実数)は，pq≧0 のとき実数解をもつことを証明せよ．

  11. 方程式 (a+b2)x3+(2b+c)x2+6x+2a-c=0 は，x=1 だけを解にもつ．このとき実数 a,b,c の値を求めよ．

  12. 複素係数の n次方程式 xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 の1つの解をαとするとき，
    　　　
    であることを証明せよ．

  13. 4次方程式 x4-x3+ax2+x+1=0 は虚数解αをもち，(α+1/α)16＞0 のとき，実数ａの値を求めよ．

  14. x,y は整数で，13x-31y=k (定数)を満たしている．x2+y2 が最小となるとき，5x-12y=1 であった．k の値を求めよ．

  15. x,y が整数であるとき，不定方程式
    　　　13579x-97531y=k (定数)
    を解け．

  16. x,y は整数で，13579x-97531y=k (定数)を満たしている．x2+y2 が最小になるとき，
    　　　1222x-8777y=1
    であった．k の値を求めよ．

  17. 次の問に答えよ．
    (1) x｜y-4｜+y｜x+2｜=2 のグラフをかけ．
    (2) x に関する方程式 ｜a-4｜x+a｜x+2｜=2 について，
    　1 正の解をもつときの a の値の範囲を求めよ．
    　2 2つの解をもつときの a の値の範囲を求めよ．
    　3 2で2つの解の差が最小となるときの a の値を求めよ．

  18. 次の不等式を解け．ただし，[x] はガウスの記号で，xを超えない最大の整数を表わすものとする．
    (1) [x]2-3x+2＜0
    (2) [x2]-3x+2＜0
    (3) [x2]-[3x]+2＜0

  19. 不等式
    　　　
    を解け．ただし，a は実数．

  20. x=b2+bc+c2, y=c2+ca+a2, z=a2+ab+b2 のとき，
    　　　
    を証明せよ．ただし，a,b,c は実数で，abc≠0 とする．

  21. n! を計算したとき，終わりに並ぶ0の数を N とする．次の問いに答えよ．
    (1) N を求めよ．
    (2) N＜n/4 を証明せよ．

  22. a≧1, [a]+1≦n≦[2a] （n は整数）のとき，次の問いに答えよ．
    (1) を証明せよ．
    (2) を証明せよ．

  23. 方程式 x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0 の1つの解αに対して，βi=αi+α-i とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)
    を求めよ．

  24. 方程式 x12+x11+…+x+1=0 の1つの解αに対して，
    　　　βi=αi+α-i，γ1=β1+β5，γ2=β2+β3，γ3=β4+β6
    とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-γ1)(x-γ2)(x-γ3)
    を求めよ．

  25. 方程式 x18+x17+…+x+1=0 の1つの解αに対して，
    　　　βi=αi+α-i，
    　　　γ1=β1+β7+β8，γ2=β2+β3+β5，γ3=β4+β6+β9
    とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-γ1)(x-γ2)(x-γ3)
    を求めよ．

  26. f(x)=x4+px2+qx+r の4つの解 αi (i=1,2,3,4)に対して，
    　　　β1=(α1+α2)(α3+α4), β2=(α1+α3)(α2+α4),β3=(α1+α4)(α2+α3)
    　　　γ1=β12β2+β22β3+β32β1, γ2=β1β22+β2β32+β3β12
    とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) β1, β2, β3 を3つの解にもち，x3 の係数が1である3次方程式を g(x)=0 とする．g(x) を求めよ．
    (2) γ1, γ2 を2つの解にもち，x2 の係数が1である2次方程式を h(x)=0 とする．h(x) を求めよ．
    (3) f(x),g(x),h(x) の判別式をそれぞれ d(f),d(g),d(h) とおくとき，
    　　　d(f)=d(g)=d(h)
    を証明せよ．ただし，判別式とは解の差積の平方で，例えば，d(g)=(β1-β2)2(β2-β3)2(β3-β1)2 である．

  27. x,y は実数で，x3+6xy+8y3=1 のとき，x2+y2+2y の最小値と，そのときの x,y の値を求めよ．

  28. 2点 (a,b), (0,c) を通る半径 r の円の中心の座標を求めよ．ただし， とする．

  29. 2つの放物線 y=ax2+b, y=bx2+ax によって囲まれた部分の中に常に点 (2,2) が存在する．このとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．

  30. 次の問いに答えよ．
    (1) 1+sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．
    (2) 1-sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．
    (3) 1+cosθ=tanθ のとき，cosθ の値を求めよ．

  31. 右図の三角形ABCにおいて，次の各々の場合における
    　　　
    の値を求めよ．
    (1) K1は点Pが重心の場合
    (2) K2は点Pが内心の場合
    (3) K3は点Pが外心の場合
    (4) K4は点Pが垂心の場合（三角形ABCは鋭角三角形）
    (5) K5は点D，E，Fが内接円の接点の場合
    (6) K6は点D，E，Fが傍接円の接点の場合
  32. 三角形ABC 内に1点 P をとり，AP,BP,CP と辺BC,CA,AB との交点をそれぞれ D,E.F とする．AE=bx (0＜x<1), AF=cy (0＜y＜1) とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) BD,CD の長さを求めよ．
    (2) △DEF の面積 K を求めよ．ただし，△ABC の面積を S とする．
    (3) K の最大値を与える x,y の値を求めよ．また，このとき点P はどんな点か．

  33. △ABC について，点A’を辺BCに関して点Aと反対側に，点B’を辺CAに関して点Bと反対側に，点C’を辺ABに関して
    点Cと反対側にとり，△A’BC，△AB’C，△ABC’が正三角形になるようする．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) 線分 AA’，BB’，CC’は1点 F で交わることを証明せよ．
    (2) AF の長さを求めよ．
    (3) AF2+BF2+CF2 を求めよ．
    (4) AA’，BB’，CC’の長さをそれぞれ求めよ．
    (5) 辺BCに関して点A’の対称点をA”，辺CAに関して点B’の対称点をB”，辺ABに関して点C’の対称点をC”とするとき，
    　AA”，BB”，CC”の長さをそれぞれ求めよ．
    (6) △A’BC，△AB’C，△ABC’のそれぞれの重心を頂点とする三角形は正三角形であることを証明せよ．
    (7) △A”BC，△AB”C，△ABC”のそれぞれの重心を頂点とする三角形は正三角形であることを証明せよ．
    　

  34. 三辺の和が 2s の三角形の内接円の半径を r とするとき，
    　　　
    を証明せよ．

  35. 2つの円 x2+y2=r12, (x-d)2+y2=r22 (r1+r2＜d) の共通内接線と共通外接線の方程式を求めよ．

  36. 右図の△ABCについて，次を証明せよ．
    (1) A=60°で点Dが内心ならば，DE=DF
    (2) AB≠AC，点Dは内心，DE=DFならば，四角形AFDEは円に内接する．
  37. △ABC の∠A=135°の3等分線が辺BC と交わる点を順に D,E とし，
    　　　AB=b, AD=d, AE=e, AC=c
    とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) bc=bd+de+ec を証明せよ．
    (2) e/b+d/c の最小値を求めよ．

  38. △ABC において，次の場合に ∠A の大きさを求めよ．ただし，m＞n＞0 とする．
    (1) a=m2-mn+n2, b=2mn-n2, c=m2-n2
    (2) a=m2+mn+n2, b=2mn+n2, c=m2-n2

  39. △ABC の辺AB, AC 上にそれぞれ点E, D をとり，線分BD と CE との交点を F とする．
    　　　AD=nAC (0＜n＜1), AE=mAB (0＜m＜1)
    とおくとき，面積比 を求めよ．

  40. 台形ABCD（AD//BC，AD＜BC）の辺AB上に点Eを，辺DC上に点Fを，EF//BCかつ四角形AEFDの面積と四角形EBCFの面積が等しくなるようにとる．AD=x，BC=y，EF=zとするとき，次の問いに答えよ．
    (1) x, y, z の関係式を求めよ．
    (2) AE：EB＝k：1 とおくとき，kの値を x, y を用いて表せ．

  41. 長方形 ABCD の辺 CD,DA 上にそれぞれ点P, Q を PC:PD=QD:QA かつ ∠PQB=∠R となるようにとる．このとき，AB, BC, CP, PD, DQ, QA の長さが整数となるものをすべて求めよ．例えば，順に 4,8,1,3,2,6．

  42. を満たす自然数 x,y,z (x≦y≦z) の値を求めよ．

  43. a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で， を満たしている．k の最大値と，そのときの a,b,c,d の値を求めよ．

  44. 次の図式で異なる文字は異なる数字を表し，同じ文字は同じ 数字を表すものとする．Ｓ＜Ｇ，Ｒ＜Ｌとするとき，文字に数字を当てはめよ．

  45. 次の問いに答えよ．
    (1) 4つの数1777，7177，7717，7771の中で，素数でない数はどれか．
    (2) 5つの数17777，71777，77177，77717，77771の中で，素数はどれか．
    (3) 7つの数1777777，7177777，7717777，7771777，7777177，7777717，7777771の中で，17を因数にもつ数はどれか．
    (4) 8つの数17777777，71777777，77177777，77717777，77771777，77777177，77777717，77777771の中で，素数はどれか．

  46. 次の9つの□に，1から9までの数字を1つずつ入れよ．
    (1)
    (2)

  47. 西暦□□□□年(昭和□□年)□月□□日の9ヶ所の□に1～9までの数字を1個ずつ入れよ．また，その曜日を求めよ．

  48. 次の図式で異なる文字は異なる数字を表す．ＡからＩまでの数字を求めよ．
    　　　

  49. 次のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅに当てはまる数字を求めよ．
    　　　

  50. 次の9つの□に，4を除く0から9までの数字を1つずつ入れよ．