■趣味の数学問題集・Ａ問題
  1. 2005年用覆面算
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  2. 2006年用覆面算
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  3. 2007年用及び2004年用覆面算
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  4. ある26桁の数abc…xyzに4を掛けると，答は元の数の逆順の並びであるzyx…cbaになった。このような数は何通りあるか。

  5. ABは2桁の数，CDEは3桁の数，FGHIは4桁の数とする．
    このとき，AB+CDE+FGHI=2005を満たす数式は何通りあるか．
    ただし，A～Iはすべて異なる数字とする．

  6. 次の等式を証明せよ．
    ［{(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3}/3］［{(a-b)7+(b-c)7+(c-a)7}/7］=［{(a-b)5+(b-c)5+(c-a)5}/5］2


  7. 1辺の長さが1である正方形ABCDがある．この正方形に含まれる3つの円P，Q，Rを考える．
    円Pは正方形の2辺BA，BCに接しており，円Qは2辺CB，CDに接しており，円Rは2辺AD，ABに接している．
    また，円Pは他の2つの円に外接しており，さらに円Qと円Rの半径の長さは等しいものとする．
    このとき，△PQRが正三角形になるときの円Pの半径の長さを求めよ．


  8. 4点について，
    2直線の交点の軌跡を求めよ．

  9. △ABCの内接円と3辺BC，CA，ABとの接点をそれぞれD，E，Fとする．
    （△ABCの内接円の面積）/（△ABCの外接円の面積）＝1/9のとき，（△DEFの面積）/（△ABCの面積）の値を求めよ．

  10. 　互いに外接している3つの円の中心をO1，O2，O3 ，
    半径を r1=2，r2=3，r3=4とする．
    　以下各円を次のように定義する．
    　円O1，O2，O3のすべてと外接する円の中心をO0 ，
    半径をr0 ，
    　円O1，O2，O3のすべてと内接する円の中心をO4 ，
    半径をr4 ，
    　円O2，O3 に外接し，円O4 に内接する円のうち，
    円O1 と異なる円の中心をO5 ，半径をr5，
    　円 O1，O3に外接し，円O4 に内接する円のうち，
    円O2 と異なる円の中心をO6 ，半径をr6 ，
    　円O1，O2 に外接し，円O4に内接する円うち，
    円O3 と異なる円の中心をO7 ，半径をr7，
    　円O3，O5 に外接し，円O4に内接する円うち，
    円O2 と異なる円の中心をO8 ，半径をr8 とする．
    　このとき，各円の半径r0，r4～r8を求めよ．


  11. nを正の整数とし，
    一辺の長さが(2n+4)の正三角形ABCがある．
    頂点Aを中心とする半径nの円，
    頂点Bを中心とする半径(n+1)の円，
    頂点Cを中心とする半径(n+2)の円
    について，次の問いに答えよ．
    (1)　3つの円に外接する円Pの半径rを求めよ．
    (2)　3つの円を内接する円Qの半径Rを求めよ．
  12. （中学生向け）
    四角形ABCDは条件AB=DC，AD<BC，∠ABC=α，∠DCB=β（α<β）を満たす。
    また，辺AD，BCの中点をそれぞれM，N，また，BAとNMの交点をP，CDとNMの交点をQ，BAとCDの交点をRとする。
    (1)　△PQRは二等辺三角形となることを証明せよ。
    (2)　∠MNCをα，βを用いて表せ。
  13. （中学生向け）
    正方形ABCDは折り紙で，E，FをそれぞれAB，DC上の点とし，
    EFで折り返したとき，頂点AがBC上の点Gに移り，BE=BGとなった。
    また，頂点Dは点Hに移り，GHとDCの交点をIとし，J，KはそれぞれEI，
    GCの中点である。このとき，∠GKJの大きさを求めよ。
  14. （中学生向け）
    正方形ABCDのCD，DA上あるいはその延長上にそれぞれ点E，Fを
    ∠CBE＝∠EBFとなるようにとる。また，BF上に点Gを，FA＝FGと
    なるようにとり，点H，I はそれぞれGE，BCの中点，BEとHIの
    交点をJとする。このとき，次の問いに答えよ。
    (1)　∠CBE＝25°のとき，∠BJIの大きさを求めよ。
    (2)　∠CBEが0°から90°まで変化すると，点Jはどのような軌跡を描くか。
  15. （中学生向け）
    平行四辺形ABCDにおいて，BE＝aBC（0<a<1），
    CF＝bCD（0<b<1），DG＝cDA（0<c<1），
    AH＝dAB（0<d<1），AEとBFの交点をP，BFとCG
    の交点をQ，CGとDHの交点をR，DHとAEの交点をSとす
    るとき，四角形PQRS／平行四辺形ABCDの値を求めよ。

  16. 三角形ABCの3辺の長さが次の場合のとき，その面積を求めよ。
    (1)　a=(α－β)(αβ＋γ2)，b=β(α2＋γ2)，c=α(β2＋γ2)。ただし，α＞βとする。
    (2)　a=(α＋β)(αβ－γ2)，b=β(α2＋γ2)，c=α(β2＋γ2)。ただし，αβ＞γ2とする。

  17. （中学生向け）
    C＝90°の直角三角形ABC（BC＝a，CA＝b，AB＝c ）について，
    BCを軸として1回転してできる立体の体積をV1，表面積をS1，
    CAを軸として1回転してできる立体の体積をV2，表面積をS2，
    ABを軸として1回転してできる立体の体積をV3，表面積をS3
    とする。
    このとき，次の比を求めよ。
    (1)　V1：V2：V3
    (2)　S1：S2：S3

  18. △ABCにおいて，BCを3：1に内分する点をD，ABを3：7に内分する点をE，
    CA上に2点F，Gをこの順にとり，DFとEGの交点をHとすると，DF：FH＝4：5
    であった。また，GHを3：2に内分する点をI，EBを4：3に内分する点をJ，
    IJとFGの交点をKとするとき，次の比を求めよ。
    (1)　EG：GH
    (2)　IK：KJ
  19. （中学生向け）
    BC＝7，CA＝5，AB＝6である△ABCの辺BC，CA，AB上にそれぞれ点D，E，FをBD＝3，CE＝2，AF＝1となるようにとる。また，BEとCFの交点をP，CFとADの交点をQ，ADとBEの交点をRとするとき，次の面積比を求めよ。
    (1)　△DEF：△ABC
    (2)　△PQR：△ABC
  20. （中学生向け）
    四角形ABCDに対して，
    △BCD，△ACD，△ABD，△ABCの重心をそれぞれE，F，G，H，
    辺AB，BC，CD，DAの中点をそれぞれI，J，K，Lとする。
    このとき，四角形EFGHと四角形IJKLの面積比を求めよ。

  21. 0から9までの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。
    これらのカードで，5桁の数と4桁の数と1桁の数を作り，
    □□□□□÷□□□□＝□となるようにせよ。

  22. 5桁の数の2乗が1～9までの数字が使われる9桁の数となった。このような5桁の数を求めよ。

  23. ある自然数nに対して，n3－n2を計算すると，1～9までの数字が使われる9桁の数となった。nを求めよ。

  24. （中学生向け）
    四角形ABCDにおいて，8点E，F，G，H，I，J，K，Lは各辺の3等分点である。
    また，LGとEJ，FIの交点をそれぞれP，Q，
    KHとEJ，FIの交点をそれぞれS，Rとする。
    このとき，四角形PQRSと四角形ABCDの面積比は1：9となることを証明せよ。

  25. 3辺の長さがa=4γ(αβ－γ2)(α＋β)，b=4βγ(α2＋γ2)，c=4αγ(β2＋γ2)である三角形ABCの内接円，外接円の半径をそれぞれ求めよ。ただし，α＞β≧γとする。

  26. （中学生向け）
    三角形ABCはAB=AC，BC＝17の二等辺三角形である。
    いま，BC上に点DをBD＝13となるようにとり，
    線分ADを7：1に外分する点をEとすると，
    AE=ABであった。
    このとき，AEの長さを求めよ。
  27. （中学生向け）
    (1)一辺aの正方形に図のように内接する3個の合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (2)一辺aの正三角形に図のように内接する3個の合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (3)半径rの円に図のように内接する3個の合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (4)一辺aの正五角形に図のように内接する3個の合同な正方形の一辺の長さを求めよ。（高校生向け）
    (5)一辺aの正六角形に図のように内接する3個の合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
  28. （中学生向け）
    底辺BC＝a，高さAH＝hの三角形ABCに，図のように正方形DEFGが内接している。
    (1)正方形の作図の方法を述べよ。
    (2)正方形の1辺をa，h を用いて表せ。
  29. （中学生向け）
    ∠A＝45°の△ABCの頂点Aから対辺BCに垂線ADを引くとき，△ABCの面積を求めよ。
    (1)　BD＝2 ，CD＝3 のとき
    (2)　BD＝p ，CD＝q のとき
  30. （中学生向け）
    (1)　1組の2つの三角定規を図のように直角の部分で重ねるとき，
    2つの三角形の重なった部分（四角形BCDF）の面積を求めよ。
    ただし，2つの三角形の辺のうち，等しい辺の長さをaとする。
    すなわち，AB＝EC＝aである。
    (2)　1組の2つの三角定規を図のように重ねるとき，
    2つの三角形の重なった部分（四角形BCGF）の面積を求めよ。
    ただし，2つの三角形の辺のうち，等しい辺の長さをaとする。
    すなわち，BC＝DE＝aである。
  31. （小学生～高校生向け）
    凹四角形ABCDにおいて，AB＝CD＝12，∠DAB＝45°，∠ABC＝75°，
    ∠BCD＝15°であるとき，四角形の面積を求めよ。

  32. △ABC内に点Dをとる。
    BC＝7，CA＝6，AB＝5，BD＝4，CD＝5のとき，ADの長さを求めよ。

  33. 平行四辺形ABCD内に点Eをとる。
    AB＝4，BC＝5，AE＝BE＝CE＝3のとき，DEの長さを求めよ。

  34. 五角形ABCDE内に点Fをとる。
    AB＝AE＝5，BC＝DE＝4，CD＝6，BF＝CF＝DF＝EF＝4のとき，AFの長さを求めよ。

  35. (1)　正方形ABCDの内部に点Eをとる。
    AE＝3，BE＝1，CE＝2のとき，ABの長さを求めよ。
    (2)　正方形ABCDの外部に点Eをとる。
    AE＝3，BE＝1，CE＝2のとき，ABの長さを求めよ。
    (3)　正方形ABCDの内部に点Eをとる。
    AE＝p，BE＝q，CE＝rのとき，ABの長さを求めよ。
    ただし，(p～r)/√2<q<(p+r)/√2とする。
  36. （中学生向け）
    (1)　3円A，B，Cについて，2円ずつの共通外接線の交点P，Q，Rは，1直線上にあることを証明せよ。
    (2)　3円A，B，Cについて，2円B，Cの共通外接線の交点をP，
    2円C，Aの共通内接線の交点をQ，2円A，Bの共通内接線の交点をRとすると，
    3点P，Q，Rは1直線上にあることを証明せよ。
  37. （中学生向け）
    AB=25，BC=65，CD=33の四角形ABCDの対角線の交点をEとする。
    ∠BAC＝∠BDC＝90°のとき，AEの長さを求めよ。

  38. 1辺が10の正三角形ABCの内部に点Pをとり，
    Pから辺BC，CA，ABに下ろした垂線の足を
    それぞれD，E，Fとする。
    AF=6，BD=7のとき，次の長さを求めよ。
    (1)　CE（中学生向け）
    (2)　PD
    (3)　△DEFの内接円の半径
  39. （中学生向け）
    (1)一辺aの正方形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。
    合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (2)一辺aの正三角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。
    合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (3)半径rの円の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。
    合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (4)一辺aの正五角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。
    合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
    (5)一辺aの正六角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。
    合同な正方形の一辺の長さを求めよ。
  40. （中学生向け）
    右の図のような扇形OABがある。
    ∠AOBの2等分以外の方法で，扇形の面積を2等分したい。
    (1)　その作図方法を示しなさい。
    (2)　その作図が正しいことを証明しなさい。

  41. AB＝a ，BC＝b ，CD＝c である四角形ABCDの面積を最大にするDAの長さをx とおく。
    (1)　xの満たす3次方程式を求めよ。
    (2)　a，b，c，xの正の整数解をいくつか求めよ。
    ただし，(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2≠0 とする。

  42. AB＝1である長方形ABCDにおいて，
    図のように三角形ABDの内接円Iの面積と
    三角形BCDに内接する正方形CEFGの面積が
    等しくなるとき，BCの長さを求めよ。
    ただし，AB＜BCとする。
    　　　　　
  43. （中学生向け）
    ∠A＝90°である△ABCの辺BC上に内接正方形DEFGをつくり，
    AD，AEとGFとの交点をそれぞれH，Iとする。
    このとき，GI2＋FH2＋HI2＝GF2を証明せよ。

  44. (1)　1辺aの正五角形ABCDEの中に正三角形AGFを図のように内接させる。
    ただし，CD∥FGとする。
    正三角形の1辺の長さを求めよ。
    (2)　1辺aの正五角形ABCDEの中に正三角形FGHを図のように内接させる。
    ただし，CD∥HGとする。
    正三角形の1辺の長さを求めよ。
    (3)　1辺aの正五角形ABCDEの中に正方形PQRSを図のように内接させる。
    ただし，CD∥QRとする。
    正方形の1辺の長さを求めよ。
  45. （中学生向け）
    四角形ABCDは1辺a+2bの正方形である（a>0，b>0 ）。
    BC上に2点E，FをBE＝a ，EH＝b となるように，AD上に点GをDG＝b となるように，
    GH上に点IをGI＝b となるようにとり，AIの延長とDCの交点をFとする。
    このとき，次の問いに答えよ。
    (1)　∠EAFの大きさを求めよ。
    (2)　DFの長さを求め，BE：EC＝CF：2FDを証明せよ。

  46. (1)　（中学生向け）
    1辺の長さが1の正方形の1辺と辺を共有して
    正三角形を正方形の外側にかき，
    さらに図のように，円を外接させる。
    円の半径を求めよ。
    (2)　（中学生向け）
    図のように，1辺の長さが1の正方形の周りに正三角形をかき，
    さらに円を外接させる。
    円の半径を求めよ。
    (3)　図のように，1辺の長さが1の正五角形の周りに正方形と正三角形をかき，
    さらに円を外接させる。
    円の半径を求めよ。
    (4)　1辺の長さが1の正六角形の周りに正五角形，正方形，正三角形をかき，
    さらに円を外接させる。
    円の半径を求めよ。
    ただし，図は正六角形の1辺に正五角形をかいた場合の部分図である。
  47. （中学生向け）
    (1)　 ∠A＝90°の直角三角形ABCの頂点AからBCに下ろした垂線の足をDとし，
    △ABDと△ACDにそれぞれ内接正方形DEFG，DHIJをつくる。
    このとき，AF＝AIを証明せよ。
    (2)　 ∠A＝90°の直角三角形ABCの頂点AからBCに下ろした垂線の足をDとする。
    △ABDと△ACDの内接円の面積の和は，△ABCの内接円の面積に等しいことを証明せよ。

  48. △ABCの辺BCの中点をDとする。また，AC，AB上にそれぞれ点E，Gを，
    △ABC内に点Fをとると，四角形DEFGが正方形になるという。
    このとき，AE＝p，EC＝q，AG＝r，GB＝sとおくとき，GDの長さを求めよ。
  49. （中学生向け）
    1辺の長さが15の正方形の折り紙ABCDにおいて，
    頂点Aを辺BC上の点Gに重ねて折るとBG＝8であった。
    このとき，頂点DはHに移り，折り目をEF，
    GHとCDとの交点をIとする。
    (1)　EFの長さを求めよ。
    (2)　△FIHの面積を求めよ。

  50. 正方形の折り紙ABCDにおいて，頂点AをBC上の点Gに重ねて折ったとき，
    頂点DはHに移り，折り目をEF，GHとCDとの交点をIとする。
    さらに，△IGCの内接円Jと各辺との接点を図のようにK，L，Mとする。
    このとき，次を証明せよ。
    (1)　BG=IM，GL=DI，LC=IH
    (2)　LC・BC＝BG・GL