■趣味の数学問題集・Ａ問題

  1. 正三角形と大円と甲円と5個の乙円が
    図のように配置されている。
    甲円は辺の中点で接している。
    このとき，次の値をそれぞれ求めよ。
    (1)　甲円径÷乙円径
    (2)　大円径÷乙円径



  2. 正方形と大円と甲円と6個の乙円が，
    図のように配置されている。
    甲円は辺の中点で接している。
    このとき，次の値を求めよ。
    (1)　甲円径÷乙円径
    (2)　大円径÷乙円径



  3. 正奇数角形の外接円，内接円の半径を
    それぞれR，rとするとき，一番長い
    対角線の長さをR，rを用いて表せ。



  4. 正三角形ABCについて，BC上に点Dをとり，
    AからBCに下した垂線の足をＥとする。
    △ABD，△ADCの内接円とBCとの接点をそれ
    ぞれF，Gとすると，FE＝DCとなることを証明
    せよ



  5. △ABCのBC上に点Pをとり，△ABP，△APCの内接円の共通外接線
    （BCでない方）と，APとの交点をQとする。
    PがBからCまで動くとき（P≠B，P≠C），点Qの軌跡を求めよ。



  6. 正三角形ABCのBC上に点Dをとり，△ABD，△ADCの
    内接円をそれぞれO1(r1)，O2(r2)とする。
    2円O1，O2の共通外接線（BCでない方）とAB，AB，
    ADとの交点をそれぞれE，F，Gとする。
    △AEG，△AGFの内接円をそれぞれO3(r3)，O4(r4)と
    する。
    r1=3，r2=2のとき，
    (1)　ABを求めよ。
    (2)　AGを求めよ。
    (3)　r3を求めよ。
    (4)　r4を求めよ。



  7. AB=a，AD＝bである長方形ABCD内にABを直径とする半円
    O1(r1)を描き，Dからこれに接線を引きBCとの交点をEとする。
    △DECの内接円をO2(r2)とし，O1，O2の共通外接線（BCでな
    い方）とDC，DA，DEとの交点をそれぞれF，G，Hとする。
    △DGH，△DHFの内接円をそれぞれO3(r3)，O4(r4)とするとき，
    (1)　r1，r2，r3，r4をそれぞれ求めよ。
    (2)　1/r1-1/r2=1/r3-1/r4を示せ。



  8. 1辺の長さが1である正方形内に各頂点から等しい斜線を
    引き，図のように甲円3個，乙円2個を入れる。
    (1)　甲円の直径dの満たす3次方程式を一つ求めよ。
    (2)　乙円の直径eの満たす3次方程式を一つ求めよ。



  9. 1辺の長さが1である正方形内に各頂点から等しい斜線を
    引き，図のように甲円7個，乙円2個を入れる。
    甲円，乙円の半径をそれぞれ求めよ。



  10. m，nを3以上の整数とする。
    長方形ABCDの対角線の交点をEとする。
    △ABEに内接するm個の連結した等円の半径はr1で，
    ABに接し，両端の円は，BE，EAに接している。
    △EBCに内接するn個の連結した等円の半径はr2で，
    BCに接し，両端の円は，CE，EBに接している。
    r1＝r2のとき，AB：BCの比を求めよ。



  11. 1辺の長さが1である正方形内に，頂点から
    等しい斜線を2本引き，図のように正三角形
    と2個の等円入れる。
    正三角形の頂点は正方形の辺の中点にあり，
    底辺は，正方形の辺に平行である。
    上側の円は正三角形の内接円で，下側の円
    は2本の斜線と正方形の辺に接している。
    円の半径rの満たす最低次の方程式を一つ
    求めよ。



  12. 1辺の長さがaである正方形ABCDのDA上に点Eをとる。
    △ABE，△DEC，△EBCの内接円をO1(r1)，O2(r2)，O3(r3)とする。
    次の問いに答よ。
    (1)　2円O1，O2の共通外接線（DAでない方）は円O3に接することを示せ。
    (2)　a2-4ar3+2r3(r1+r2)=0を示せ。
    (3)　r1+r2，r3のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
    (4)　a，r1が与えられたとき，r2，r3をそれぞれ求めよ。



  13. 2円O1，O2はTで外接し，円O1は直線l1とAで接し，
    円O2は直線l2とBで接している。l1∥l2のとき，
    3点A，T，Bは共線であることを証明せよ。



  14. 環状に接している甲円，乙円，丙円，乙円の4個の接点は，
    共円であることを証明せよ。



  15. 二等辺三角形内に直交する甲斜線，乙斜線を引き，
    図のように，3個の等円を入れる。
    乙斜線が2のとき，円の直径を求めよ。



  16. 1辺の長さが1である正三角形ABCのCA上に点Dを，
    BD上に点Eを，△ABD，△DEC，△EBCの内接円の
    半径が等しくなるようにとる。
    (1)　AD＝xとおくとき，xの満たす方程式を求めよ。
    (2)　等円の半径をrとおくとき，rの満たす方程式を
    　　求めよ。



  17. 交わる3個の甲円の間に4個の乙円が図のように接している。
    さらに3個の丙円が甲円，乙円に接している。
    甲円の半径を知って，乙円，丙円の半径をそれぞれ求めよ。



  18. 円に弦を引き緑円と青円を入れる。さらにその隙間に
    黄円2個，赤円2個を入れる。
    このとき黄径と赤径が等しくなることを証明せよ。



  19. 長方形ABCと中心角90°，半径Rの扇形AOEと
    2円O1，O2は，図のように配置されている。
    2円O1，O2の半径をそれぞれr1，r2とする。
    (1)　r1，r2を用いて，Rを求めよ。
    (2)　R，r2を用いて，r1を求めよ。
    (3)　R，r1を用いて，r2を求めよ。






  21. 横の長さが4である長方形内に，
    図のように甲円3個，乙円2個，
    丙円2個が入っている。
    長方形の縦の長さを求めよ。



  22. 底辺10，等辺13の二等辺三角形に，図のように甲乙丙円が入っている。
    甲と丙の半径がそれぞれ2，9/8のとき，乙円の半径を求めよ。






  24. 底辺10，等辺13の二等辺三角形に，図のように甲乙丙円が
    等辺に接するように配置されている。
    乙と丙の半径がそれぞれ4，1のとき，甲円の半径を求めよ。



  25. 2つの長方形ABCD，DEFGについて，
    AはEF上に，GはBC上にあり，
    ABとFGの交点をHとする。
    四角形AHGDの面積をS´，六角形
    BCDEFHの面積をSとおくとき，
    S´/Sのとりうる値の範囲を求めよ。



  26. 図のように半径1の四分の一円内に
    正方形赤青黄が配置されている。
    正方形黄の一辺を求めよ。



  27. 半径1の四分の一円内に図のように正三角形赤3個と
    正三角形青1個が配置されている。
    正三角形青の一辺を求めよ。



  28. 半径1の四分の一円内に図のように正三角形赤3個と
    正三角形青1個が配置されている。
    ただし，下側の赤と青の底辺は平行である。
    このとき，正三角形青の一辺を求めよ。



  29. 図のように半径1の半円に甲乙丙丁円が配置されている。
    丁円の半径を求めよ。



  30. 半径1の半円内に直径1の甲円と円弧乙を入れ，その間に
    4個の丙円を入れる。
    ただし，半円，甲円，円弧乙の中心は同一直線上にある。
    円弧乙，丙円の半径をそれぞれ求めよ。



  31. 半径1の半円内に直径1の甲円と円弧を入れ，その間に
    6個の乙円を入れる。
    ただし，半円，甲円，円弧の中心は同一直線上にある。
    乙円の半径rの満たす方程式を一つを求めよ。



  32. ある6桁の数N＝a×105＋b×104＋c×103＋d×102＋e×10＋fをabcdefで表す。
    N×2＝cdefab，N×3＝bcdefa，N×4＝efabcd，N×5＝fabcde，N×6＝defabc
    のとき，N×7の値を求めよ。


  33. 半径1の円に相交わる等しい2つの弦を引き，
    小円11個と大円1個を入れる。
    小円，大円の半径をそれぞれ求めよ。



  34. 円に外接する四辺形ABCDの辺BC上に任意の点Eをとる。
    △AED，△ABE，△DECの内接円をO1，O2，O3とすると
    き，2円O2，O3のBCでない共通外接線は円O1に接するこ
    とを証明せよ。



  35. （684の逆）
    四辺形ABCDの辺BC上に任意の点Eをとり，△AED，
    △ABE，△DECの内接円をO1，O2，O3とする。2円
    O2，O3のBCでない共通外接線が円O1に接するとき，
    四角形は円に外接することを証明せよ。



  36. 1辺の長さが1である正方形内に図のように
    甲円1個，乙円2個，丙円1個が配置されて
    いる。
    甲乙丙円の半径をそれぞれ求めよ。



  37. 1辺の長さが1である正方形と甲円が図のよう
    に配置されている。
    乙円は正方形の2辺を延長した線分と甲円に接し，
    丙円は甲乙円と正方形に接する。
    このとき，甲乙丙円の半径をそれぞれ求めよ。



  38. 1辺の長さが1である正方形と甲円が図のよう
    に配置されている。
    乙円は正方形の2辺を延長した線分と甲円に接し，
    丙円は甲乙円と正方形に接する。
    このとき，甲乙丙円の半径をそれぞれ求めよ。



  39. 正方形甲内に図のように正方形乙丙丁
    戊が配置されている。
    図のa，bの長さが与えられたとき，
    正方形丙丁戊の1辺の長さをそれぞれ
    求めよ。



  40. 正方形内に図のように正方形赤青黄緑が配置さ
    れている。
    正方形青黄緑の1辺の長さをそれぞれx，y，zと
    おくとき，正方形赤の1辺を求めよ。



  41. 1辺の長さが1である正方形内に，
    図のように4個の正三角形甲乙丙
    丁が配置されている。
    それぞれの1辺を求めよ。



  42. 図のように，正方形内に
    4個の正三角形赤青黄緑
    が配置されている。
    黄の面積が1のとき正方形
    の面積を求めよ。



  43. 半円O(R)内に2円O1(r1)とO2(r2)と半円O3(r3)が
    図のように入っている。
    2円の共通外接線の長さがaのとき，
    (1)　r3をa，r1，r2を用いて表せ。
    (2)　Rをa，r1，r2を用いて表せ。
    (3)　r1，r2，r3，Rの関係式を求めよ。



  44. 半径rの半円内に半径5の円と半径1の円と半径r/5の半円が
    図のように入っている。
    このとき，2円の共通外接線の長さaを求めよ。



  45. 大円内に甲円2個，乙円1個，丙円2個が
    図のように入っている。
    甲乙丙円の半径がそれぞれ7，4，2のとき，
    大円の半径を求めよ。



  46. 図のように4円O1(r1)，O2(r2)，O3(r3)，O4(r4)は
    それぞれ長方形の直角を挟む2辺に接し，円O1は
    他の3円に接する最大円である。このとき，
    (1)　r4をr1，r2，r3を用いて表せ。
    (2)　さらに，2円O3，O4が接するとき，√r3，√r4
    　　をそれぞれr1，r2を用いて表せ。



  47. 長方形内に2個ずつの甲乙丙丁円と1個の戊円が
    図のように入っている。
    甲乙円の半径がそれぞれ4，2のとき，丙丁戊円
    の半径をそれぞれ求めよ。



  48. 1辺の長さが1である正方形の辺の中点で甲円，甲´円が接して，
    図のように配置されている。
    乙円は正方形の延長した2辺と甲円に接し，丙円は甲乙円と正方形
    に接する。
    乙´円は正方形の2辺と甲´円に接し，丙´円は甲´乙´円と正方形に
    接する。
    このとき，乙´円径を乙円径を用いて表せ。



  49. 1辺の長さがaであるの正方形内に2個ずつ
    1辺の長さがbである正方形，甲円，乙円が
    図のように入っている。
    甲乙円の半径をそれぞれa，bを用いて表せ。



  50. 正n角形内に1個の正n角形が内接し，
    その隙間にn個の等円が内接している。
    n個の等円の中心を頂点とする正n角形
    と内接正n角形は合同になることを証明
    せよ。（図はn＝5の場合）