■趣味の数学問題集・Ｂ問題
  1. sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0のとき，次の問いに答えよ．
    (1) sin3α+sin3β+sin3γ=-12sinαsinβsinγ=3sin(α+β+γ) を証明せよ．
    (2) cos3α+cos3β+cos3γ=12cosαcosβcosγ=3cos(α+β+γ) を証明せよ．
    (3) (1+cosαcosβ)2+(1+cosβcosγ)2+(1+cosγcosα)2の値を求めよ．

  2. θ=π/7 のとき，次の式の値を求めよ。
    (1)　cosθcos3θcos5θ
    (2)　sinθsin2θsin3θ

  3. 次の四角形ABCDで，∠ADB の大きさを求めよ．
    (1)
    ∠ABD=20°,∠DBC=60°,
    ∠BCA=50°,∠ACD=30°
    3_1.GIF
    (2)
    ∠ABD=20°,∠DBC=60°,
    ∠BCA=30°,∠ACD=50°
    3_2.GIF
    (3)
    ∠ABD=14°,∠DBC=14°,
    ∠BCA=34°,∠ACD=73°

    (4)
    ∠ABD=20°,∠DBC=60°,
    ∠BCA=65°,∠ACD=15°

  4. 長方形ABCDの辺CDの中点をEとするとき，∠DBEの正接の値の最大値と，そのときの辺の比 AB：BC を求めよ．

  5. fn(x)=(cosθ+x sinθ)n-(cosnθ-x sin nθ) (nは2以上の整数)とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) fn(x) は x2+1を因数にもつことを証明せよ．
    (2) すべての実数xに対して，f4(x)>0 となるように，sinθ の値の範囲を求めよ．

  6. x, yがすべての実数値をとるとき，次の式の最大・最小値を求めよ．
    z=a sin x sin y+b sin x cos y+ccos x sin y+d cos x cos y

  7. の最大・最小値を求めよ．
    ただし， とする．

  8. 一辺の長さが a である正方形に含まれる最大の正五角形一辺の長さを求めよ．

  9. 次の問いに答えよ．
    (1) x3+y3+z3-3xyz をx，y，zの1次式の積の形に表せ．
    (2) 3次方程式x3-3uvx+u3+v3=0 を解け．
    (3) 3次方程式x3+ax+b=0 を解け．
    (4) 3次方程式 x3+px2+qx+r=0の解法を述べよ．

  10. を満たすnの値の個数を求めよ．

  11. kが2以上の整数で，log10kx の仮数は log10xの仮数のk倍であるとき，次の問いに答えよ．
    (1) 0＜α＜x≦βで，上の関係を満たすxが存在するためのα, β, k の条件を求めよ．
    (2) (mは正の整数)のとき，上の関係を満たすxの値の個数を求めよ．
    (3) 上の関係を満たすxの値がn個あり，小さいものから順に並べて，i 番目の x の値を xi とおくとき，xi を α, k, i を用いて表せ．
    (4) (3)で， を求めよ．

  12. を証明せよ．

  13. 一辺の長さが n の正三角形ABCの各辺を n 等分し，
    右図のように格子を入れる．
    このとき，次の問いに答えよ．
    (1)　大小すべての正三角形の個数を求めよ．
    (2)　正三角形ABCの重心をG，BCの中点をDとする
    　とき，△GBDに含まれる格子点の個数を求めよ．

  14. a1, a2, …, an はみな整数で， のとき， の最小値を求めよ．

  15. p=0,1,2,3,4 のとき，a1=a,an+1=2an-np (n=1,2,…) で定められる数列の一般項an を求めよ．

  16. 次の数列の和を求めよ．
    (1)
    (2)

  17. 次の数列 {an}, {bn}の一般項を求め， を求めよ．
    {an}：a1=-18,a2=-23,an+2=2an+1-an+2n
    {bn}：b1=24,bn+1=2bn-n3

  18. a1=a2=…=ak-1=k (k≧2)an=ak-1akak+1…an-1+1(n≧k) のとき，等式

    を証明せよ．ただし，n≧k-1 とする．

  19. 数列 {an} に対して，{a(k)n}を第k階差数列とする．
    a(k-1)n+1-a(k-1)n=a(k)n(k=1,2,…,m), a(m)n+1-am)n=0のとき，

    を証明せよ．

  20. ある生徒は続けて遅刻をしないように心掛けている。
    この生徒が遅刻をした次の日には90％遅刻をしないが，
    遅刻をしなかった次の日には30％遅刻をする恐れがある。
    長い間には，この生徒は何％遅刻するか。

  21. 次の問いに答えよ．
    (1) のとき，

    を証明せよ．
    (2)
    とおくとき，2つの極限値

    を求めよ．

  22. a1≠2，anam=an+m+an-m，an+7=an（n，mは整数）で定義される0と異なる数列 {an}について，次の問いに答えよ．
    (1) a0 の値を求めよ．
    (2) a-n=an を証明せよ．
    (3) an+7m=anを証明せよ．
    (4) すべての anは，a0,a1,a2,a3のいずれかに等しいことを証明せよ．
    (5) a1=a とおくとき，a2, a3，a4 を a で表せ．
    (6) x=a を1つの解にもつ，最低次の有理数係数の方程式 f(x)=0 を求めよ．ただし，多項式f(x) の最高次の項の係数は1である．
    (7) f(an) の値を求めよ．
    (8) の値を求めよ．
    (9) an を a の最低次の有理数係数の多項式として表せ．

  23. 3次関数 y=x3+3x2をx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動させた式をＣとおく．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) Ｃの極値を求めよ．
    (2) Ｃが原点で対称になるように，p, q の値を求めよ．
    (3) Ｃが原点を通り，極大値が0となるように，p, qの値を求めよ．
    (4) Ｃが直線 y=9x に接し，極小値が0となるように，p, q の値を求めよ．

  24. 4次関数 y=ax4+bx3+cx2+dx+eに2点で接する接線の方程式を求めよ．ただし，3b2-8ac＞0 とする．

  25. 5次方程式 x5-2x4-2x3+7x2-5x+1=0の5つの解のn乗の和を an とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) an+3-3an+1+an+2=0 を証明せよ．
    (2) a10 の値を求めよ．

  26. 3次方程式 x3+px2+qx+r=0 が相異なる3つの実数解をもつ条件を求めよ．ただし，p, q, rは実数とする．

  27. a, bが 0≦b≦a≦1 を満たしながら変化するとき，3次方程式 x3+3ax2+9bx+2ab=0が虚数解をもたない確率を求めよ．

  28. 4つの3次方程式
    x3+ax2+ax+a=0　…1
    x3+ax2+ax-a=0　…2
    x3+ax2-ax+a=0　…3
    x3+ax2-ax-a=0　…4
    について，次の問いに答えよ．ただし，aは0でない定数とする．
    (1) 相異なる3つの実数解をもつことができる方程式はどれか．またそれはどのようなaの値のときか．
    (2) 1～4すべての方程式が，実数解をもたないようなaの値の範囲を求めよ．

  29. x, y, z は実数で，x+y+z=4, xyz=2 のとき，xy+yz+zx の取り得る値の範囲を求めよ．

  30. x, y, z は実数で，x+y+z=x2+y2+z2=2のとき，次の問いに答えよ．
    (1) max(x, y, z)-min(x, y, z) の取り得る値の範囲を求めよ．
    (2) x3+y3+z3 の取り得る値の範囲を求めよ．

  31. x, y, zは実数で，x+y+z=x2+y2+z2=x3+y3+z3のとき，xyz の取り得る値の範囲を求めよ．

  32. α+β+γ=a，α2+β2+γ2=b，α3+β3+γ3=cのとき，α4+β4+γ4，α5+β5+γ5，･･･，α8+β8+γ8を a, b, c で表せ．
    また，a=1，b=2，c=3のとき，α10+β10+γ10の値を求めよ。

  33. 関数 y=sin x+cosec x+cos x+sec x+tan x+cot x について，次の問いに答えよ．
    (1) 0＜x＜π/2におけるyの最小値と，そのときのxの値を求めよ．
    (2) π/2＜x＜2πにおけるyの最大値と，そのときの sin x, cos x の値を求めよ．

  34. 関数y=(sin x+cosec x)2+(cos x+sec x)2+(tanx+cot x)2
    の最小値と，そのときのxの値を求めよ．

  35. 1を解にもたないn次方程式 f(x)=0 のn個の解を αi (i=1,2,…n) とするとき，

    の値を求めよ．

  36. n次方程式f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0のn個の解のk乗の和を sk とおく．
    のとき，等式 を証明せよ．

  37. 微分可能な関数 f(x) に対して，次式で定義される関数 F(x) を求めよ．
    　　　

  38. x≧1 のとき，x3, x2, x ,1 , x3-x，x2-1 の中で
    2番目に小さい数を f(x) とおくとき， の値を小数第2位まで正しく求めよ．
    ただし，f(1)=0 とする．また，x3-x-1=0の実数解をαとおくとき，α=1.3247, α2+3α=5.7290 である．

  39. 3次方程式 x3+px+q=0 (p, qは実数) が，実数解α,β,γ (α≦β≦γ) をもつとき，
    曲線y=x3+px+q とX軸とで囲まれた部分の面積Sをβの最低次の整式として表せ．

  40. 曲線 y=x3+ax2+bx+c とx軸とで囲まれた部分の面積は， 以下であることを証明せよ．

  41. 次の問いに答えよ．
    (1) 3次方程式 x3-3x+1=0 を x=r cosθ (r＞0，0≦θ≦π)とおいて解け．
    (2) 曲線 y=x3-3x+1 とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

  42. aiは実数（a0≠0, i=1,2, … ,n）で，kは正の定数とする．

    のとき，n次方程式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0
    は，0と1の間に少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ．

  43. 平面上に3点 O(0,0), A(14,0), B(5,12)がある．点Pはx軸上をOからAまで動くとき，
    点Qもそれに伴って，常にBP上にあり，PO：PA=QP：QBを満足しながらOからBまで動く．
    このとき次の問いに答えよ．
    (1) 点Qの軌跡の方程式を求めよ．
    (2) 点Qの軌跡と線分OBによって囲まれる部分の面積を求めよ．

  44. 空間に4点 O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) (a＞0, b＞0, c＞0)がある．三角錐 O-ABCに内接する球の半径の長さを求めよ．

  45. のとき，∠AOBの余弦の値をkを用いて表せ．ただし，Sは△AOBの面積である．

  46. 平面上に3点 O(0,0), A(14,0), B(5,12) がある．
    △AOB内に1点Pを次の条件を満たすようにとるとき，
    点Pの軌跡の方程式をそれぞれ求めよ．
    (1) ∠AOP=∠OBP
    (2) ∠AOP=∠ABP

  47. 平面上に円錐曲線Cがある．その焦点Fを通る曲線の対称軸を始線(横軸)にとり，曲線との交点をRとする．
    始線上に点Fに対して点Rの反対側に点Aをとり，点F，Aからそれぞれ垂線を立て，曲線の上半分との交点をそれぞれ Q, P とする．
    今FA=2，AP=2√3とするとき，次の各々の場合におけるCの曲線名とFRの長さを求めよ．
    (1)　FQ=1
    (2)　FQ=2
    (3)　FQ=3
    (4)　FQ=4

  48. 定点 (c,0) (c≠0) を通る直線と2定直線 y=ax, y=bx (a＞0, b＞0, a≠b) との交点をそれぞれA，Bとするとき，
    線分 AB の中点Mの軌跡の方程式を求めよ．

  49. 2次曲線 ax2+2hxy+by2=c について，座標軸を原点中心にθ(0°＜θ＜90°)だけ回転させると，
    Ax2+2Hxy+By2=cとなった．このとき，次の問いに答えよ．
    (1)　次の等式を証明せよ．
    　[1]　A+B=a+b, [2]　AB-H2=ab-h2
    (2)　H=0となるように，回転角θを定めよ．
    (3)　(2)で，2h(A-B)＞0 を証明せよ．

  50. 次の方程式を満たす複素数zはどんな曲線上にあるか．
    (1)　
    (2)