| 【中学生レベルで】 まず、∠ＢＡＣ＝50°であるから、⊿ＡＢＣは二等辺三角形。 ∴ＡＢ＝ＢＣ･･･① また、∠ＢＤＣ＝40°である。 辺ＣＤ上に点Ｅを、∠ＣＢＥ＝20°となるようにとり、さらに補助線ＡＥを引く。 このとき、⊿ＢＣＥは、∠ＢＥＣ＝80°となるので二等辺三角形。 ∴ＢＣ＝ＢＥ･･･② ⊿ＡＢＥで、①、②よりＡＢ＝ＢＥだから二等辺三角形となる。 しかも、∠ＡＢＥ＝60°だから底角も60°となり、三角形ＡＢＥは正三角形。 ∴ＢＥ＝ＥＡ･･･③ 次に、三角形ＥＤＢで、∠ＥＢＤ＝∠ＢＤＣ＝40°であるから、二等辺三角形。 ∴ＢＥ＝ＥＤ･･･④ ③、④より三角形ＥＤＡは二等辺三角形。 ∠ＤＥＡ＝180°－（80°＋60°）＝40°であるから、底角∠ＥＤＡ＝70°。 よって、求める∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＡ－∠ＥＤＢ＝70°－40°＝30°･･･（答） |  |
| 【中学生レベルで（別解）】 ＢＡの延長上に点ＥをＥＤ//ＢＣとなるようにとる。 ∠ＥＢＣ＝∠ＤＣＢ＝80°であるから，四角形ＥＢＣＤは等脚台形である。 その対角線ＥＣとＡＤ，ＢＤとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。 ⊿ＧＢＣは正三角形となるので，ＢＧ＝ＢＣ･･･① ⊿ＢＣＡは，∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ＝50°であるから，二等辺三角形である。 よって，ＡＢ＝ＢＣ･･･② ①，②よりＢＧ＝ＡＢとなるので，⊿ＢＧＡは二等辺三角形である。 ∠ＡＢＧ＝20°なので，∠ＢＧＡ＝（180°－20°）／2＝80°･･･③ ⊿ＥＧＤは正三角形となるので，∠ＥＧＤ＝60･･･④ ③，④より，∠ＡＧＥ＝180°－（80°＋60°）＝40･･･⑤ また，∠ＢＡＣ＝∠ＡＥＧ＝40°･･･⑥ ⑤，⑥より，⊿ＡＧＥは二等辺三角形となる。 よって，ＡＥ＝ＡＧ･･･⑦ ⊿ＥＧＤは正三角形なので，ＥＤ＝ＧＤ･･･⑧ また，∠ＡＥＤ＝ＡＧＤ（＝40°＋60°）･･･⑨ ⊿ＡＥＤ，⊿ＡＧＤについて，⑦，⑧，⑨より二辺夾角が等しくなるので， ⊿ＡＥＤ≡⊿ＡＧＤ よって，求める∠ＡＤＧ＝ｘとおくと，∠ＡＤＥ＝ｘ ⊿ＥＧＤは正三角形なので，∠ＧＤＥ＝60° よって，2ｘ＝60°より ∴ｘ＝30°･･･（答） |  |
| 【高校レベルで】 ∠ＢＤＣ＝40°である。
 三角関数の積和の公式より   三角関数の和積の公式より   より∴  ･･･（答）
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