■趣味の数学問題集・Ｂ問題

  1. 2つの放物線y=x2+a，x=y2+aの3本の共通接線が
    正三角形をつくるとき，その面積を求めよ。



  2. 四角形ABCDについて，AD∥BC，∠ABD＝30°－2θ，∠DBC＝3θ，
    ∠BDC＝60°－θ，BC＝aのとき，四角形の面積を求めよ。
    ただし，0°＜θ＜15°とする。



  3. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…について，
    (1)　第2020項を求めよ。
    (2)　初項から第2020項までの和を求めよ。
    (3)　初項から第n項までの和が，2020以上となる最小のnの値を求めよ。
    (4)　初項から第2020項までの和より，第2021項から第n項までの和の方が大きくなる最小のnの値を求めよ。


  4. 右図のように，自然数1を中心にして，その周りに数を配置していく。
    (1)　全ての数の和を，nを用いて表せ。
    (2)　(1)の和が2021の倍数となる最小のnの値を求めよ。



  5. 0＜A＜B＜C＜π/4を満たす角A，B，Cは等差数列をなし，(1+tanA)/(1+tanB)=(1+tanB)/(1+tanC)のとき，
    tanBの値を求めよ。





  7. △ABCのBCの中点をD，CA上にE，AB上にFを，
    △DEFが正三角形になるようにとる。
    次の場合に，正三角形の1辺を求めよ。
    (1)　AE＝7，EC＝5，AF＝6，FB＝8
    (2)　AE＝2，EC＝4，AF＝3
    (3)　BC＝5，CA＝7，AB＝8



  8. 平行四辺形ABCDについて，
    ADをs:(1-s)に内分する点をP，
    BPをs:(1-s)に内分する点をQ，
    CQをs:(1-s)に内分する点をR，
    DRをs:(1-s)に内分する点をS，
    △QRSの重心をGとする。(0＜s＜1)
    (1)　GがAC上にあるとき，sの満たす
    　　最低次の方程式を1つ求めよ。
    (2)　GがBD上にあるとき，sの満たす
    　　最低次の方程式を1つ求めよ。






  10. 面積Sの平行四辺形ABCDについて，
    ADをs:(1-s)に内分する点をE，
    ABをt:(1-t)に内分する点をF，
    BEとDFの交点をG，
    BEとCFの交点をH，
    CEとDFの交点をIとする。
    △GHIの面積をs，t，Sを用いて表せ。
    ただし，0＜s＜1，0＜t＜1とする。



  11. △ABCのAB，CAを1辺とする正方形ADEB，ACFGを
    三角形の外側につくり，さらに，BF，CEを1辺とする
    正方形BHIF，CEJKをAを含まない方につくる。
    (1)　H，Kは一致することを証明せよ。
    (2)　△BHC＝a2/2＋△ABCを証明せよ。
    (3)　正方形BHIFとCEJKの面積の和がEFを一辺とする
    　　正方形の面積に等しくなるとき，△ABCの3辺
    　　a，b，cの関係式を求めよ。



  12. ∠A＝∠B＝∠E＝90°である五角形ABCDEについて，
    BCを直径とする円に外接し，辺AB，CDに接する
    円の中心をP，DEを直径とする円に外接し，辺CD，
    EAに接する円の中心をQとする。
    このとき，CP⊥DQを証明せよ。



  13. 3点A(5,12)，B(0,0)，C(14,0)について，点Aを通り，
    BC上の点Dに接する円の中心をPとする。
    (1)　点DがBC上を動くとき，点Pの軌跡の方程式を求めよ。
    (2)　点Pの軌跡と，AB，ACで囲まれる図形の面積を求めよ。



  14. 2個の同じ楕円の長軸は同一直線上にあり，長軸の
    端で外接している。図のように，小円は楕円に内接
    し，その接点で大円と外接している。
    楕円の長軸2a，短軸2b，小円の半径をrとするとき，
    大円の半径Rを求めよ。



  15. 長方形内に2個の等しい楕円が図のように配置
    されている。
    楕円の長軸は長方形の縦に等しく平行である。
    1個の楕円に2個の甲円が図のように内接し，
    甲円同士は外接している。
    乙円は，楕円と甲円の接点で甲円に外接し，
    長方形にも接している。
    このとき，長方形の縦横の比を求めよ。



  16. AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝dである四角形ABCDは，
    円に内接し，円に外接する。対角線AC，BDの交点をEとし，
    △EAB，△EBC，△ECD，△EDAの内接円の半径をそれぞれ
    r1，r2，r3，r4とするとき，r1：r2：r3：r4を求めよ。



  17. (1)　平面α：x+2y+3z+4=0に関して，点P(5,6,7)と対称な点Qの座標を求めよ。
    (2)　平面α：ax+by+cz+d=0に関して，点P(x1,y1,z1)と対称な点をQ(x2,y2,z2)とする。
    　　x2，y2，z2を求めよ。
    (3)　(2)で，点Pと平面αの距離hを求めよ。


  18. 正三角形内に長軸2a，短軸2bの楕円を3個配置する。
    ただし，楕円の長軸は正三角形の中線上にある。
    このとき，正三角形の1辺を求めよ。



  19. R＞rとする。 半径R，rの同心円の間に，図のように
    n個の合同な楕円が連結して配置されている。
    rをRを用いて表せ。



  20. 正n角形内に長軸2a，短軸2bの楕円n個を図のように配置する。
    ただし，楕円の長軸は正n角形の頂点と中心を結んだ線分上にある。
    このとき，正n角形の1辺を求めよ。



  21. 図のように，正三角形に合同な2個の楕円が配置されている。
    縦長の楕円は，長軸が正三角形の中線に一致する。横長の
    楕円は，正三角形の3辺に接し，短軸は中線上にある。
    このとき，楕円の長軸÷短軸の値を求めよ。



  22. 図のように，正三角形に楕円が内接し，
    長軸は三角形の底辺に平行になるように
    配置されている。
    その楕円に外接し，正三角形の2辺に
    接する円を考える。
    楕円と円の面積が等しくなるとき，
    楕円の長軸÷短軸の値を求めよ。



  23. 正方形内に楕円と2個の円が図のように配置されている。
    楕円の長軸は正方形の対角線上にある。
    円と楕円の面積が等しいとき，楕円の長軸÷短軸の値を求めよ。



  24. 正方形内に楕円と4個の甲円が図のように配置されている。
    楕円の長軸は正方形の対角線上にある。
    楕円に内接する2円は，楕円の長軸の端で楕円に接している。
    楕円に外接する2円は，正方形の2辺に接している。
    このとき，楕円の長軸÷短軸の値を求めよ。



  25. 正三角形内に楕円と3個の甲円が図のように配置されている。
    楕円の長軸は正三角形の底辺に平行である。
    楕円に内接する2円は，楕円の長軸の端で楕円に接している。
    楕円に外接する円は，正三角形の2辺に接している。
    このとき，楕円の長軸÷短軸の値を求めよ。



  26. 4次方程式x4+lx2+mx+n=0が重解をもつ条件を求めよ。


  27. 正三角形に長軸8，短軸2の楕円が内接している。
    ただし，楕円の長軸は正三角形の底辺に平行である。
    その楕円に外接し，正三角形の2辺に接する甲乙円
    を図のように配置する。
    (1)　甲円の半径を求めよ。
    (2)　乙円の半径を求めよ。



  28. 正三角形内に相似である甲，乙楕円が3個ずつ
    図のように配置されている。
    甲の長軸と乙の短軸は三角形の中線上にあり，
    甲の短軸と乙の長軸が等しいとき，
    長軸÷短軸の値を求めよ。



  29. 長軸2a，短軸2bの楕円は，半径Rの大円に短軸の端で接し，
    半径rの小円は楕円の長軸の端で接している。
    このとき，R，rを求めよ。



  30. 円内に合同な3個の楕円が図のように配置されている。
    3個の楕円の短軸は円の直径上にある。
    このとき，長軸÷短軸の値を求めよ。



  31. 円内に合同な3個の楕円が図のように配置されている。
    上の楕円から順に，短軸，長軸，短軸は，円の直径上に
    ある。このとき，長軸÷短軸の値を求めよ。



  32. 半径がrの球面上に内角の大きさがA，B，Cで
    ある球面三角形の面積Sは，S＝(A+B+C-π)r2
    であることを証明せよ。



  33. aとbの文字を合計n並べる順列で，bが隣り合わない場合の数をanとする。
    (1)　a1，a2，a3の値を求めよ。
    (2)　anを求めよ。

  34. 長方形内に長軸2a，短軸2bの楕円が内接している。
    楕円の両軸は長方形の辺に平行である。
    半径rの甲円4個が図のように配置されている。
    このとき，
    √(2r)＝√a＋√b－√(a+b)
    を証明せよ。



  35. 横2a，縦2bである長方形A1B1C1D1に楕円O1を内接させる。
    軸は辺に平行である。
    O1に外接し，2辺に接する円のうち∠A1内のものをP1とする。
    O1とP1の接点をA2とし，O1に内接し，A2を頂点とする長方形
    をA2B2C2D2とする。A2B2∥A1B1である。
    長方形A2B2C2D2に楕円O2を内接させる。軸は辺に平行である。
    O2に外接し，2辺に接する円のうち∠A2内のものをP2とする。
    O2とP2の接点をA3とし，O2に内接し，A3を頂点とする長方形を
    A3B3C3D3とする。A3B3∥A2B2である。
    以下，同様に楕円，円，長方形をつくっていく。
    このとき，楕円Onの長軸÷短軸の値を求めよ。



  36. 正六角形の内部に図のように，長軸が2a，短軸が2bである
    楕円3個が，長軸が正六角形の対角線に重なるように内接
    している。
    これら3個の楕円の間に長軸の端で内接し，他方に外接する
    6個の等円を描く。
    (1)　正六角形の1辺をa，bを用いて表せ。
    (2)　もし，6個の円が楕円の長軸の端で曲率円(*)ならば，
    長軸÷短軸＝√{1+2√3cos(π/18)}と表されることを示せ。
    (*)半径rの円と長軸2a，短軸2bの楕円の方程式からxまたは
    yを消去した2次方程式の判別式をDとおくと，D＝0となる
    ときの円を曲率円という。









  39. 曲線y=(x-α)(x-β)(x-γ)とxで囲まれた2つの部分の面積の和Sを，
    β-α=p，γ-β=qを用いて表せ。


  40. 1辺1の正方形の内部に，
    図のように甲半円2個，
    乙円1個，丙半円2個，
    丁円2個が配置されてい
    る。
    丁円の直径を短軸にもつ
    楕円の長軸を求めよ。



  41. 1辺1の正方形の内部に，4分円弧を図のように2個描き，
    その内に甲円1個，乙円2個，丙円2個を入れる。
    また，軸が正方形の辺に平行な楕円を図のように配置し，
    その内に丁円1個，戊円2個を入れる。ただし，戊円は
    長軸の端で楕円に内接する最大円である。
    このとき，各円の半径をそれぞれ求めよ。



  42. 半円内に相似な甲乙楕円が図のように配置されている。
    半円は甲楕円の短軸の端で接する最小半円である。
    乙楕円は短軸の端で甲楕円と直径に接している。
    このとき，長軸÷短軸の値を求めよ。



  43. 相似な甲乙丙楕円と円が図のように配置されている。
    円は，甲楕円の短軸の端で接する最小円である。
    乙丙楕円は円の中心で接している。
    丙楕円は短軸の端で円に接している。
    このとき，甲乙丙の長軸の比を求めよ。



  44. 図のように，軸が正方形の対角線に平行で，
    相似である甲乙丙楕円について，甲の長軸，
    短軸がそれぞれ2a，2bであるとき，乙丙の
    長軸をそれぞれa，bを用いて表せ。



  45. ∠A＝90°である直角二等辺三角形ABCのAB，ACの
    中点をそれぞれD，Eとする。
    相似な甲乙丙楕円が図のように配置されている。
    楕円の短軸は，頂点AからBCに下した垂線上にある。
    このとき，甲乙丙の長軸の比を求めよ。



  46. BC＝a，CA＝b，∠C＝90°である直角三角形ABC内に
    軸が直角を挟む2辺に平行な楕円が内接している。
    楕円の面積の最大値を求めよ。



  47. 図のように長方形内に長軸4，短軸2の楕円と
    4個の等円が配置されている。ただし，楕円の
    両軸は長方形の辺に平行である。
    このとき，長方形の横の長さを求めよ。



  48. 図のように長方形内に長軸4，短軸2の楕円と
    4個の等円が配置されている。ただし，楕円の
    両軸は長方形の辺に平行である。
    このとき，長方形の横の長さを求めよ。



  49. 長軸2a，短軸2bの楕円内に．図のように
    6個の等円が内接している。ただし，等円は
    長軸，短軸の端で楕円に接する最大円である。
    このとき，長軸÷短軸の値を求めよ。



  50. 1辺の長さが1である正三角形内に2本の斜線を引き，
    図のように，甲円1個，乙円3個を内接させる。
    甲円の半径を求めよ。