■趣味の数学問題集・Ｃ問題

---

1. 
   

   Oを原点として，平面上に n+1 個の点 A0，A1，A2，･･･，Anを次のようにとる． A0(1，0)，∠Ai+1OAi=2π/n，∠OAiAi+1=π/2（i=0，1，2，･･･，n-1，n≧5） このとき，次の問いに答えよ． (1)　多角形A0A1A2･･･An（かたつむり形）の面積を求めよ． (2)　 を求めよ．

2. のとき，次の問いに答えよ．
   (1)　tanα₀，tan(α₀＋α₁)，tan(α₀＋α₁＋α₂) の値を求めよ．
   (2)　tan(α₀＋α₁＋…＋α_n-1) の値を求めよ．
   (3)　無限級数 を求めよ．

3. 数列 {a_n}，{b_n}は
   　　　
   によって定義される．ただし，n=0,1,2,… で，定数 a はすべての n に対し
   　　　α_n－β_n≦3π/20
   を満たす最小の整数である．このとき，次の問いに答えよ．
   (1) cot 3π/20 の値を求め，その近似値を小数第2位まで計算せよ．
   (2) a の値を求めよ．
   (3) tan(α₀－α₁) ，tanβ₀ ，tan(α₁－α₂) ，tanβ₁の値を求めよ．
   (4) 無限級数 を求めよ．
   (5) 無限級数 を求めよ．

4. y²(y＋1)=x(x＋1)² のとき，次の極限値 α，β をそれぞれ求めよ．
   (1)
   (2)

5. を求めよ．

6. n!の桁数をN，N(n)=n(log₁₀n-log₁₀e)+2 とおくとき，次の問いに答えよ．
   (1) を求めよ．
   (2) を求めよ．

7. 
   
   
   

8. n桁の自然数の中から1つ取り出して，そのm乗が m(n-1)+1 桁になる確率を P(n,m) とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，m は自然数とする．
   (1) P(n,m) を求めよ．
   (2) を求めよ．
   (3) 任意のn の値に対して，P(n,m)≧0.01 となる最大の m の値を求めよ．
   　ただし，log₁₀1.09=0.0374 とする．

9. のとき， の値を求めよ．

10. 分数方程式 (定数)について，次の問いに答えよ．
    (1) k＞0 のとき，正の解3個，負の解2個もつことを証明せよ．
    (2) K=0 のとき，解を求めよ．

11. 台形 ABCD（AD//BC，AD=1，BC=x＞1）においてAB，DC の中点をそれぞれ E,F，また，2本の対角線の交点 G を通り，EF に平行な直線が AB,DC と交わる点をそれぞれ H,I とするとき，次の問いに答えよ．
    (1) を求めよ．
    (2) f(x) の最大値と，そのときのxの値を求めよ．

12. 2定点 A(0,1)，B(0,2) に対し，y=x² 上に点Pをとる．AP+BP が最小になるとき，点Pのy座標を求めよ．

13. (1+2x+3x²+…)^m の xⁿ の係数を求めよ．

14. x＞0,y＞0,z＞0 のとき， の最大値を求めよ．
15. 一辺の長さが a である正三角形ABC の辺 BC,AB 上にそれぞれ点D,E を ∠BAD=∠ADE=θ となるようにとる．θ が0からπ/3 まで連続的に変化するときの三角形ADE の面積の平均値を求めよ．

16. ＜次の文の□に数式を入れよ＞2定点 A(a,0),B(－a,0)（a＞0）からの距離の積がa² に等しい点の軌跡の方程式は (x²+y²)²=□ である．これを極座標(極を原点，始線をx 軸の正の方向にとる)で表すと，r²=□となり，この曲線をレムニスケートという．この曲線によって囲まれる部分の面積は□で，この曲線をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積は□である．

17. 2次曲線 ax²+2hxy+by²+2gx+2fy+c=0 が実楕円を表す条件と，その面積を求めよ．

18. z は複素数で，2曲線 |z|=1,｜z+|z|｜=1 によって囲まれる部分で，原点を含まない方の面積を求めよ．

19. 閉区間 ［0,π/4］で，次の曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．
    (1) y=sin x，y=cos x，y=tan x
    (2) y=cos x，y=tan x，y=cot x，y=sec x
    (3) y=cot x，y=sec x，y=cesec x

20. 曲線 6x³+11x²y+6xy²+y³=xと x軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

21. x|x+y|+y|x-y|=1 のとき， の値を求めよ．

22. について，次の問に答えよ．
    (1) f(-x)=f(x) を証明せよ．
    (2) f(x) を求めよ．
    (3) f(x) の最小値を求めよ．
    (4) を求めよ．

23. 次の条件1～4を満たす何回も微分可能な関数 f(x) を求め，下の問いに答えよ．
    　1
    　2 f(0)=0
    　3 f '(0)=b-a=c≠0
    　4
    (1) f(x) の最大・最小値と，そのときの x の値を求めよ．
    (2) 曲線 y=f(x) と x軸との間の部分の面積を求めよ．

24. 等式 を証明せよ．

25. 次の無限級数をそれぞれ求めよ．
    (1) のとき， を求めよ．
    (2) のとき， を求めよ．

26. とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) f(x) を求めよ．
    (2) f(x) の最大値と，そのときの x の値を求めよ．
    (3) 区間［0,1］におけるf(x) の平均値を求めよ．ただし，f(0)=2,f(1)=1 と定義する．

27. 不定積分 を求めよ．

28. tan y=x²+x+1 のとき， を求めよ．

29. 次の定積分を求めよ．
    (1)
    (2)

30. 3次方程式 x³+3ax²+9bx+2ab=0（a,bは実数）･･･①について，次の問いに答えよ．
    (1)　①が実数解だけをもつとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．
    (2)　kを正の定数として，0≦b/k≦a≦1 を満たす任意の a,b を選んだとき，①が実数解しかもたない確率 P(k) を求めよ．
    (3)　(2)で P(k)の最大値と，そのときの k の値を求めよ．

31. とおくとき，次の問いに答えよ．
    

    (1)	①	S0，S1 の値を求めよ．
    	②	Sn，Sn-2の関係式を求めよ．
    	③	nSn-1Sn の値を求めよ．
    	④	の値を求めよ．
    (2)	①	cosx=y とおくと，S2m+1 はどうなるか．
    	②	cotx=y とおくと，S2m-2はどうなるか．
    	③	1-y2≦e-y2≦1/(1+y2) を証明せよ．
    	④	を証明せよ．
    	⑤	を証明せよ．
    (3)	①	の値を求めよ．
    	②	の値を求めよ．
    	③	の値を求めよ．
    	④	とおくとき， の値を求めよ．

32. 
    

    棒を水平に持って幅 a メートルの廊下から，それに直角な幅 b メートルの廊下に曲がりたい． これが可能であるための棒の最大の長さを求めよ．

33. 
    

    (1)　行列 の表す1次変換による の像Pと とで囲まれた斜線部分の面積を求めよ． (2)　像Pとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ． (3)　像Pとy軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

34. 
    

    ∠Cが直角の直角三角形ABC内に，図のように連結する無限個の内接正方形を考える。 (1)　BC＝4，AC＝3とするとき，これらすべての正方形の面積の和を求めよ。 (2)　BC＝a，AC＝bとするとき，これらすべての正方形の面積の和を求めよ。

35. 
    

    (1)　∠Cが直角の直角三角形ABC内に，図のように直角三角形ABCの内接円から3つの頂点に向かって連結した無限個の内接円を考える。 　BC＝4，AC＝3のとき，これらすべての円の面積の和を求めよ。
    (2)　(1)で，BC＝a，AC＝bのとき，これらすべての円の面積の和を求めよ。
    (3)　三角形ABC内に，図のように直角三角形ABCの内接円から3つの頂点に向かって連結した無限個の内接円を考える。 　BC＝a，CA＝b，AB＝cのとき，これらすべての円の面積の和を求めよ。

36. 
    

    BC=5，CA=3，AB=4の⊿ABC内に，図のように正方形DEFGを内接させる。 また，図のように⊿AGF内，⊿GBD内，⊿FCE内にそれぞれ連結する無限個の内接正方形を考える。 このとき，これら⊿ABC内のすべての正方形の面積の和を求めよ。

37. 
    

    BC=7，CA=3，AB=5の⊿ABC内に，図のように正方形DEFGを内接させる。 また，図のように⊿AGF内，⊿GBD内，⊿FCE内にそれぞれ連結する無限個の内接正方形を考える。 このとき，これら⊿ABC内のすべての正方形の面積の和を求めよ。

38. 
    

    円に内接する四角形ABCDの内接円から4つの頂点に向かって連結した無限個の内接円を考える。 AB＝4，BC＝6，CD＝5，DA＝3のとき，これらすべての円の面積の和を求めよ。

39. 
    

    半径9の円O1と半径4の円O2が外接していて，線分ABは2円の共通接線である。 線分ABに接して，2円O1，O2に外接する円をO3， 線分ABに接して，2円O1，O3に外接する円をO4 ， 以下同様に円O5，O6，･･･を考える。 このとき，円O3，O4，O5，･･･ すべての面積和 を求めよ。

40. 
    半径r，高さhの円錐に球O₁が内接している。
    球O₁に外接し，円錐に内接する球をO₂，
    球O₂に外接し，円錐に内接する球をO₃，
    ･･･と，円錐の頂点に向かって連結する無限個の球を考える。
    このとき，円錐内のすべての球の体積をr，hを用いて表せ。
41. 
    

    (1)	一辺aの正方形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。 n→∞のとき，合同な正方形の面積の和を求めよ。
    (2)	一辺aの正三角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。 n→∞のとき，合同な正方形の面積の和を求めよ。
    (3)	半径rの円の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。 n→∞のとき，合同な正方形の面積の和を求めよ。
    (4)	一辺aの正五角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。 n→∞のとき，合同な正方形の面積の和を求めよ。
    (5)	一辺aの正六角形の中に合同な正方形を図のようにn段内接させる（図は3段）。 n→∞のとき，合同な正方形の面積の和を求めよ。

42. 
    

    正方形の折り紙ABCDにおいて，頂点AをBC上の点Gに重ねて折ったとき， 頂点DはHに移り，折り目をEF，GHとCDとの交点をIとする。さらに， △EBG，△GCIの内接円をそれぞれJ，Kとし，それらの半径をr，Rとする。 正方形の1辺の長さを1とするとき， (1)　R－rの最大値を求めよ。 (2)　円Kの面積－円Jの面積が最大になるとき，BGの長さを求めよ。

43. 
    

    △ABCのBC上に動点Pをとり， ACの中点をM，BMとAPの交点をQ， 頂点BからACに下ろした垂線BHとAPの交点をR， ∠Bの2等分線とAC，APの交点をそれぞれD，Sとする。 次の条件を満たすBPの長さを求めよ。 ただし，BC＝a，CA＝b，AB＝cとする。 (1)　△AMQ＋△BPQが最小 (2)　△AHR＋△BPRが最小 (3)　△ADS＋△BPSが最小

44. 
    次の等式を証明せよ。
    

    (1)
    (2)

45. 
    

    三角形OABのOA上にn個の点A1，A2，･･･，AnをOに近い ところから，OB上にn個の点B1，B2，･･･，BnをOに近い ところから，⊿OA1B1 ＝⊿A1B1B2＝⊿A1A2B2 ＝⊿A2B2B3＝⊿A2A3B3 ＝⊿A3B3B4＝⊿A3A4B4 ･････････････････････ ＝⊿AnBnB＝⊿AnAB となるようにとる。 OA＝a，OB＝bのとき， および （k＝1，2，3，･･･，n）の極限値を求めよ。

46. 
    xについての方程式　｜n｜n｜nx-1｜-1｜-1｜＝x²　･･･①
    について，次の問に答えよ。
    (1)　n=2のとき，①を解け。
    (2)　n>2のとき，①の解のうち，最大のものα，および，最小のものβを求めよ。
    (3)　(2)で，n→∞とするとき，n(α＋β)の極限値を求めよ。
    
47. 
    

    二等辺三角形ABCの辺BCの中点をMとする。 この三角形の内接円をO1(r1)， 円O1に外接し，AB，AMに接する円をO2(r2)，AC，AMに接する円をO2'(r2)， 2円O2，O2'に外接し，AB，ACに接する円をO3(r3)， 円O3に外接し，AB，AMに接する円をO4(r4)，AC，AMに接する円をO4'(r4)， ･･･，と連結する円を三角形ABC内に描いていく。 AB＝25，BC＝14のとき，これらすべての円の面積和を求めよ。

48. 
    aを1でない正の定数とするとき，
    1/{1+(1-a)x-ax²}=a₀+a₁x+a₂x²+･･･+a_n-1x^n-1+･･･
    とおくとき，a₀+a₁+a₂+･･･+a_n-1の値を求めよ。
    
49. 
    

    C=90°である△ABCのCA，AB，BC上にそれぞれ点D， E，Fを，四角形CDEFが正方形になるようにとる。 △EBF－△AEDが最大になるのは，どのようなときか。

50. 
    

    座標平面上に，定点P(3,1)がある。いま，x軸上の正の部分に 点Aをとり，APと直線y=(56/33)xとの交点をBとする。 (1)　ABの長さが最小になるとき，点Aの座標を求めよ。 (2)　(1)のとき，OからABに下ろした垂線の足をQとするとき， 　APとBQの大小を比較せよ。