■趣味の数学問題集・Ｂ問題の答

  1. (1)(2) z1=cosα+i sinα，z2=cosβ+i sinβ，z3=cosγ+i sinγとおくと，
    　　　z13+z23+z33=3z1z2z3
    (3) 33/16


  2. (1)　-1/8
    (2)　√7/8


  3. (1) 30°
    (2) 10°
    (3) 17°
    (4) 85°


  4. √2/4，√2：1


  5. (1) f(i)=0
    (2) -√6/3＜sinα＜０， ０＜sinα＜√6/3


  6. 最大値　
    最小値　


  7. 最大値　
    最小値　



  9. (1) (x+y+z)(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz) （ωは１の虚数立方根）
    (2) x=-u-v, -ωu-ω2v, -ω2u-ωv
    (3) とおくと
    　　x=A+B, ωA+ω2B, ω2A+ωB
    (4) x=ξ-p/3 とおくと，ξ3+aξ+b=0　(ただし，a=-p2/3+q, b=2p3/27-pq/3+r)


  10. 9≦n≦98　90個


  11. (1)
    (2) m(k-1)
    (3)
    (4)



  12. 　　以下略


  13. (1)
    (2)



  15. p　　→　an
    0　　→　1+2n-1(a-1)
    1　　→　n+1+2n-1(a-2)
    2　　→　n2+2n+3+2n-1(a-6)
    3　　→　n3+3n2+9n+13+2n-1(a-26)
    4　　→　n4+4n3+18n2+52n+75+2n-1(a-150)


  16. (1)
    (2) n(n+2)/{2(n2+2n+2)}


  17. an=2n-7n-13
    bn=n3+3n2+9n+13-2n


  18. 省略（数学的帰納法）


  19. 証明→こちら（階差数列考）


  20. 25%


  21. (1) 省略
    (2)


  22. (1) 2
    (2) 省略
    (3) 省略
    (4)
    (5) a2=a2-a, a3=a3-3a, a4=a4-4a2+2
    (6) x3+x2-2x-1=0
    (7)
    (8) 37/2
    (9)


  23. (1) 極大値　q+4 (x=p-2 のとき)，極小値　q (x=p のとき)
    (2) p=1, q=-2
    (3) (p,q)=(2,-4),(-1,-4)
    (4) (p,q)=(3,0),(-5/9,0)



  25. (1) 因数分解　(x-1)2(x3-3x+1)=0
    (2) a0=5, a1=2, a2=8,a3=-1, a4=20, a5=-13, a6=59, a7=-61,
    　a8=188, a9=-244, a10=623, a11=-922, a12=2111


  26. p2q2-4p3r+18pqr-4q3-27r2＞0


  27. 5/162


  28. (1) ②　→　a＜-1, 27/5＜a，　④　→　a＜-27/5, 1＜a
    (2) -1＜a＜0, 0＜a＜1


  29. a=xy+yz+zx とおくと


  30. (1) 最大値　2/√3 (x=(2+√3)/3, y=2/3, z=(2-√3)/3)
    　 最小値　1 (x=1, y=1, z=0 または x=4/3, y=1/3, z=1/3)

    (2) 2≦x3+y3+z3≦22/9


  31. a=xyzとおく。
    最大値　1，最小値　-√3/27


  32. 解答→こちら


  33. (1) 2+3√2, x=π/4
    (2)1-2√2
    　　（複号同順）


  34. 13,


  35. f '(1)/f(1)


  36. 省略





  39. S=(3pβ2+9qβ+2p2)/4


  40. 省略


  41. (1)
    (2)


  42. f(x)=xk(a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an)とおくと，より


  43. (1) x=19y/12-7y2/72 (0≦y≦12)
    (2) 28




  46. 　円
    　直角双曲線


  47. (1) 双曲線，2/5
    (2) 放物線，1
    (3) 楕円，2
    (4) 円，4


  48. 2abx2-2(a+b)xy+2y2-2abcx+(a+b)cy=0　（双曲線）


  49. 解答例→こちら


  50. (1) 2x2-2y2+1=0　（直角双曲線）
    (2)