■趣味の数学問題集・Ｃ問題の答

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51. 
    1：√2
    解答例→こちら
    
52. 
    順に，1:√2，8:27
    
53. 
    順に，1:2√2，1:2
    
54. 
    

    (1)　(√2－1)AD (2)　（作図例） BDの中点をM，BDの垂直二等分線上に点Eを ME＝MDとなるようにとる。 BD上に点QをDE＝DQとなるようにとる。 AQとBCとの交点をPとすればよい。 （別法） ADを1辺とする正方形の対角線の1つをAEとする。 AE上に点FをAD＝AFとなるようにとる。 点PをBC上にFE＝BPとなるようにとる。

55. 
    

    (1)　(√2－1)AD （解答） 便宜上，AB＝a，AD＝b，CE＝xとおく。 △EFC∽△EABより　FC：a＝x：(b＋x) FC＝ax/（x＋b） DF＝a－FC＝ab/（x＋b） △AFD＋△EFC ＝(1/2)b×ab/(x＋b)＋(1/2)x×ax/(x＋b) ＝(a/2)(x2＋b2)/(x＋b)　（※） ＝(a/2){x＋b＋2b2/(x＋b)ｰ2b} ≧(a/2)[2√{(x＋b)×2b2/(x＋b)}－2b] ＝(√2－1)ab 等号は，x＋b＝2b2/(x＋b) すなわち，x＝(√2－1)bのとき， 面積和は最小値(√2－1)abとなる。 （※）ここで，xで微分して最小値を与えるxの値を求める 方法もあるが，ここでは，相加平均≧相乗平均を使った。 (2)　（作図） DCの延長上に点Gを，CB＝CGとなるようにとる。 BCの延長上に点Eを，BG＝BEとなるようにとる。 （証明） △CBGは直角二等辺三角形であるから， BE＝BG＝√2×BC＝BC＋CEより CE＝(√2－1)BC＝(√2－1)AD よって　点Eは条件を満たす。

56. 
    (1)　S＝(1/4)|(a³-1)³/a³(a³+1)|
    　　→A問題314参照
    (2)　0<S<3√3/2のとき，2個
    　　S＝3√3/2のとき，4個
    　　3√3/2<Sのとき，6個
    (3)　(2)より，S＝3√3/2のとき4個
    　　このとき，a＝－(2±√3)^(1/3)，(7±4√3)^(1/3)
    
57. 
    (1)　(2²ⁿ-_2nC_n)/2²ⁿ⁺¹
    (2)　1/√π(≒0.5641895835)
    解答→こちら
    
58. 
    (1)　3
    (2)　(1+√5)/2
    解答→こちら
    
59. 
    a+b
    （解）P(acosθ,bsinθ)における接線の方程式は，(cosθ/a)x+(sinθ/b)y=1であるから
    A(a/cosθ,0)，B(0,b/cosθ)より，AB²＝a²/cos²θ＋b²/sin²θ＝f(θ)とおく。
    f′(θ)＝0より　tanθ＝√(b/a)
    このθの値に対して，f″(θ)＞0であるから，f(θ)は極小かつ最小となる。
    最小値は，AB＝a+b
    
60. 
    解答例→こちら
    
    
61. 
    h=-bg/fのとき，mの最大値は　c-f²/b
    
    
62. 
    a₁/m-b₁/n
    解答例→こちら
    
    
63. 
    解答例→こちら
    
    
64. 
    略
    
    
65. 
    解答例→こちら
    
    
66. 
    解答例→こちら
    
    
67. 
    解答例→こちら
    
    
68. 
    解答例→こちら
    
    
69. 
    (1)　(x²+y²)²=a²x²+b²y²
    (2)　(a²+b²)π/2
    
    
    
70. 
    (1)　(x²+y²)²=a²x²-b²y²
    (2)　(a²-b²)π/2
    
    
    
71. 
    1
    ちなみに，小数第1010位は3，小数第1012位は6
    
    
    
72. 
    (1)　d₁={√(2b²+2c²-a²)}/2，d₂={√(2c²+2a²-b²)}/2，d₃={√(2a²+2b²-c²)}/2
    (2)　2d₁　　 (3)　4a
    (4)　10d₁　　 (5)　19a
    (6)　48d₁　　 (7)　91a
    (8)　230d₁　　 (9)　430a
    
    
    
73. 
    (-11+5√5)/2
    AE:EB=x:(1-x)とおくと，x=(-1+√5)/2のとき，最大となる。
    
    
    
74. 
    背理法を使う。
    eを有理数と仮定して，e=m/n（m，nは正の整数）とおく。
    n!e=(n-1)!mは正の整数である。
    一方，n!e=(n!+n!/1!+n!/2!+…+n!/n!)+{n!/(n+1)!+n!/(n+2)!+n!/(n+3)!+…}
    について，左辺と(　)の中は正の整数であるから，
    R=n!/(n+1)!+n!/(n+2)!+n!/(n+3)!+…も正の整数である。
    R=1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)+…
    ＜1/(n+1)+1/(n+1)²+1/(n+1)³+…
    ={1/(n+1)}/{1-1/(n+1)}（無限等比級数の和）
    =1/n≦1より，Rは1より小さい正の整数となるが，これは不合理である。
    よって，eは有理数でないので，無理数である。
    
    
75. 
    
    
    
76. 
    3-e
    
    
77. 
    
    
    
78. 
    
    
    
79. 
    
    
    
80. 
    2021
    
    
81. 
    
    
    
82. 
    -1
    
    
83. 
    n=6
    
    
84. 
    
85. 
    
    
    
86. 
    
    
    
87. 
    
88. 
    略
    
    
89. 
    
    
    
90. 
    
    
    
91.