■趣味の数学問題集・Ａ問題の答

  1. (1)　b√(a2+k2b2)/a
    　類題の解答→こちら
    (2)　b{√(b2+ab)-√(b2-ab)}/a
    （例）
    ABBCFD
    96100125
    144020282197
    360043354913
    8064500015625
    176401766124389
    288006724068921
    294004791550653

  2. (1)　a2/√{a2+(a-b)2}
    (2)
    BCCABD
    20516
    15691144
    255119225
    60929441
    600425576
    12958511225
    164012711600
    23859012025
    (3)　省略

  3. (1)　x=z2/y+y-z
    (2)　r=xy/(x+y)
    ※1/r=1/x+1/y
    →円に台形が外接している。円の半径の逆数は，台形の平行な2辺の逆数の和に等しい。

  4. (1)(a+b)/b　回転

    （具体例）
    a=3，b=2のとき，2.5回転
    (2)(a-b)/b　回転

    （具体例）
    a=7，b=2のとき，2.5回転

  5. （280×15÷24＋5）×25÷12.85＝？

  6. 180°/7

  7. デザルグの定理を利用すればよい。
    右の手順で作図する。
    解説→こちら

  8. (1)四角形ABDGにトレミーの定理を適用すると，
    ac+ab=bc
    よって，1/b+1/c=1/a
    (2)略
    （四角形ABCGとACDGにトレミーの定理を適用し，cを消去する。）
    (3)y3-2y2-y+1=0
    (4)z3+z2-2z-1=0
    (5)5
    解答例→こちら
    (6)6
    解答例→こちら

  9. 解答例
    (1)
    　
    　
    　
    (2)

  10. r=4R/13

  11. (1)　証明→こちら
    (2)　r=(5√2-1)a/49

  12. （証）DE＝a（一定），AC＝b，CB＝c，斜線部分の面積をSとおくと，
    S＝π((b+c)/2)2-π(b/2)2-π(c/2)2
    　＝πbc/2
    方べきの定理より　AC・BC＝DC・ECであるから　（※）
    bc=(a/2)2
    よって　S＝πa2/8（一定）となる。（終証）
    （※）方べきの定理を使わない場合
    △BCD∽△DCAより
    c：a/2=a/2：b
    bc=(a/2)2

  13. (1)　略
    (2)　略
    (3)　略

  14. 証明→こちら

  15. (1)　証明
    (2)　証明
    (3)　証明
    (4)　証明
    (5)　証明
    (6)　証明

  16. (1)　①　ab/(2a-b)，②　15
    (2)　①　(a+b+√(a2+6ab+b2))/2，②　20
    (3)　①　(b+√(b2+4ab-4a2))/2，②　6
    (4)　①　(a+b+√(a2+b2))/2，②　35
    (5)　①　ab/√(2a2-2√2ab+2b2)，②　28/5
    （補足）
    正方形の一辺ABが有理数になる例
    abAB
    4√2728/5
    12√217204/13
    15√223345/17
    24√231744/25
    21√241861/29
    35√2471645/37
    40√2491960/41
    (6)　28
    （補足）
    BE=a，AF=b，AB=xとおくと，
    xは4次方程式　2x4+(2a2-b2)x2-2ab2x-a2b2=0　の解となる。
    (7)　①　{ab(a+b)+(a2-ab+b2)√(2ab)}/(a2+b2)，②　2mn(m+n)(2m+n)/(2m2+2mn+n2)，③　120/17

  17. AF=a√(2(a2+b2))/(a+b)
    EF=(a2+b2)/(a+b)
    CF=2ab/(a+b)

  18. (1)　証明
    (2)　証明
    (3)　証明
    (4)　証明
    (5)　証明
    (6)　証明

  19. (1)　S=(a2+1)/(4(a+1))，a=√2-1のとき最小値　(√2-1)/2
    (2)　(a+b+√(a2+b2))/√2，6√2
    (3)　√3/3

  20. 45°
    （解）
    ∠AEC=∠AEF，∠ACB＝∠ACFより点Aは△CEFの傍心である。
    よって，EFの延長上の点をTとすれば，∠AFC＝∠AFTである。
    よって，∠EAF＝∠AFT－∠AEF＝ ∠TFC－ ∠FEC
    ＝(∠TFC－∠FEC)/2＝(1/2)∠FCE＝45°
    （参考）
    △ABCの1つの内角の二等分線とそれに隣り合わない2つの外角の二等分線は1点で交わる。
    この交点を△ABCの傍心と呼ぶ。


  21. 45°
    （解） FD＝BE＋EC－CF＝b(a+2b)
    BE：CE＝a：2b，CF：DF＝a：bであるから
    BE：CE＝CF：2DFが成り立つ。
    よって，∠EAF=45°である。

  22. (1)　k=(3√21-7)/10
    (2)　k=(23-12√3+9√13)/46

  23. (1)　AE=5a/6　（ヒント）103(2)
    (2)　r=a/4　※正方形内の3円の半径はすべて等しい。

  24. 略　（ヒント）トレミーの定理

  25. (1)　√2-1
    (2)　√3-1

  26. 証明→こちら

  27. (1)　[a2-b2+c2+2(b-c)√{s(s-a)}]/(2a)　ただし，s=(a+b+c)/2
    (2)　√{s(s-a)}
    (3)　{√s-√(s-a)}√{(s-a)(s-b)(s-c)}/a
    (4)　順に，7/4，3/2，√15/8
    (5)　△ABDの内接円の半径：r1
    　(a，b，c)=(35，29，8)のとき，(BD，AD，r1)=(10，6，2)
    　(a，b，c)=(45，40，13)のとき，(BD，AD，r1)=(15，14，4)
    　(a，b，c)=(75，65，20)のとき，(BD，AD，r1)=(24，20，6)

  28. (1)　r12+ar1+r22=a2/4
    (2)　r1=(√3-1)a/4
    (3)　r1=(√6-1)a/10，r2=(√6-1)a/5

  29. (1)　r1={√(34+10√5)-√(5-2√5)}a/16
    (2)　r1={√(1314+502√5)-(13+5√5)√(5-2√5)}a/176，r2={√(6570+2510√5)-(25+13√5)√(5-2√5)}a/176

  30. (1)　r1=(√15-√3)a/8
    (2)　r1=(√30-√3)a/18，r2=(2√5-√2)a/6

  31. (1)　r1=(√7-√3)a/8
    (2)　r1=(√13-√3)a/20，r2=(√39-3)a/20

  32. (1)　√(10(5-√5))a/5(=1.051462224a)
    (2)　√(5(85+38√5))a/5(=5.830447378a)
    解答→こちら

  33. (1)　51°
    (2)　90°×{(k-i)/m+(j-l)/n}

  34. （解1） 対角線ACを引く。
    △ACDを，Aを中心に時計回りに90°回転させ△AEBをつくる。
    求める四角形の面積は，直角二等辺三角形AECの面積と等しくなる。
    ECを底辺と見ると，底辺がBC＋CD＝6で，
    高さAFは6÷2＝3の三角形であるから
    求める四角形ABCDの面積は
    6×3÷2＝9･･･（答）
    （解2） 四角形ABCDを，Aを中心に90°回転させ四角形ADEFをつくり，
    さらにAを中心に90°回転させ四角形AFGHをつくり，
    さらにAを中心に90°回転させ四角形AHIBをつくる。
    正方形CEGIの一辺の長さは，BC＋CD＝6である。
    求める四角形ABCDの面積は，
    正方形CEGIの4分の1であるから
    6×6÷4＝9･･･（答）
    【補足】
    2つの解答を見てわかるように，∠ABC＝60°の条件は使っていない。
    ∠ABCは45°と135°の間の角であれば何度でも答は同じになる。

  35. （証）
    A，DからBCに下ろした垂線の足をそれぞれF，Gとする。
    △BDGにおいて，BD：DG＝BC：AF＝2：1より∠DBG＝30°（∵△ABCは直角二等辺三角形）
    ∠ABE＝45°－30°＝15°より
    ∠AEB＝90°－15°＝75°＝∠CED（対頂角）･･･①
    △BCDは二等辺三角形であるから
    ∠BDC＝(180°－30°)/2＝75°＝∠CDE･･･②
    ①，②より△CDEは底角75°の二等辺三角形となるから
    CD＝CE（終証）

  36. （証）
    BDの延長上に点Eを，DB＝DE･･･①となるようにとる。
    △ABD≡△AEDより，∠ABD＝∠AED＝∠DBCより　AE∥BC（∵錯角が等しい）
    よって，四角形ABCEは台形となる。
    さらに，∠AEB＝∠ACBより，四角形ABCEは円に内接する。（∵円周角が等しい）
    よって，四角形ABCEは等脚台形となるので，対角線AC＝BE＝2BD（∵①より）
    したがって，BD＝AC/2（終証）

  37. x＝36°

  38. (1)　b2=c(a+c)，b=6
    (2)　a2=(b+c)(b-c)2/c，a=35
    (3)　b2={c(a+2c)+a√(c(4a+5c))}/2，b=3√14
    (4)　a2=(b-c){-c(b+2c)+b√(c(4b+5c))}/(2c)，a=(5√14)/2
    (5)　b=√(99+21√21)
    (6)　a=3√14/2

  39. ∠x＝39°
    （小学生向け）
    △CDAをCを中心にCDがCBに重なるまで回転させ，△CBEを作る。
    CA＝CEより，∠CAE＝∠CEA＝56°
    ∠BCA＝∠CBE－∠CAB＝95°－56°＝39°

    （中学生向け）
    ∠B＋∠D＝180°より，四角形ABCDは円に内接する。
    BC＝CDより∠BAC＝∠CAD＝56°（円周角）
    ∠BCA＝180°－（∠ABC＋∠BAC）＝180°－（85°＋56°）＝39°

  40. 証明→こちら

  41. DE＝AB/2＝5/2

  42. (1)　DCに平行で，ABの中点を通る直線とACとの交点が点Eとなる。
    (2)　√(4a4-3a2b2+b4)/(2a)
    (3)　√37/3

  43. (1)　a/2
    (2)　(√2-1)a(b2+c2-a2)/(a2+b2-c2)
    (3)　ac/(a+c)

  44. （作図）
    点Bから，直線l，mに下ろした垂線の足をそれぞれE，Fとする。
    EF上に点Gを，EG＝FBとなるようにとる。
    このとき，AGと直線lとの交点をCとすればよい。
    あとは，Cから直線mに垂線CDを引き，DBを引く。
    （証明）
    AC＋CD＋DBのうち，CDの長さは一定であるから，
    AC＋DBの長さが最小になる場合を考える。
    図より，FBの長さをEGに移せば，
    AC＋DB＝AC＋CG＝AG
    2点A，Gを直線でつないだとき，AC＋DBは最小となる。
    （補足）l上にC以外の点Pをとり，Pから直線mに下ろした垂線をPQとすると，
    AP＋QB＝AP＋PG>AG＝AC＋DBとなり，AC＋DBが最小となることがわかる。
    （三角形の2辺の和の定理）
    三角形において，2辺の和は，残りの辺より大きい。

  45. 4(-358269+508774√3)/1531299
    （=1.36604）
    （解説）
    線分ACに関する点Pの対称点をQ，
    線分ABに関する点Pの対称点をR，
    AC，ABとQRとの交点をそれぞれ
    D，Eとすれば，△PDEの周の長さ
    は最小になる。

  46. 82°

  47. (1)　①30°　②70°
    (2)　①30°　②30°

  48. 40°
    解答→こちら

  49. AP＝25/√129，BP＝40/√129，CP＝64/√129

  50. (1)　OD0＝(an+bn)/(an-1+bn-1)
    (2)　CnDn＝(b-a)√(an-1bn-1)/(an-1+bn-1)
    (3)　OCn＝√{(an+1+bn+1)/(an-1+bn-1)}