■趣味の数学問題集・B問題の答


  1. ここでn=20を代入する
    =-(364÷365×363÷365×362÷365・・・×346÷365-1)=0.4114383836
    と入力すると、オーバーフローなく計算できる。


  2. 省略


  3. 解答はこちら




  4. 証明はこちら
  5. (a2-d2)/4tan(A/2)
  6. 解答はこちら
  7. 略(Hint:正接の加法定理を使う)
  8. 解答はこちら

  9. (1) sin2C:sin2B=c2(a2+b2-c2):b2(c2+a2-b2)
    (2) (2S)3/{a2(b2+c2)-(b2-c2)2},Sは△ABCの面積
    (3) 4abcS/{a2(b2+c2)-(b2-c2)2}
    (4) (1) 114:125,(2) 864√6/239,(3) 420√6/239

  10. n(n+1)(8n+1)π/6

  11. r1:r2:r3:r4=12:20:15:10



  12. (1)
    (2)
    (3)


  13. (ヒント)
    AB=a,BC=b,CD=c,DA=dと置き,Rとrを求め,相加平均・相乗平均を使う。

  14. (1)AF=√[(2a2+b2-b√{3(4a2-b2)})/2]
     a<bのとき,AF=(b√3-√(4a2-b2))/2
     a>bのとき,AF=(√(4a2-b2)-b√3)/2
    (2)AF=(3√3-√7)/2
    (3)AF=2√2-√3
    ※(2)は,A問題84の改題

  15. AF=[b√3-√(4a2-b2)+√{-12a2+2b2+16c2-2b√(3(4a2-b2))}]/4
    AG=[-b√3+√(4a2-b2)+√{-12a2+2b2+16c2-2b√(3(4a2-b2))}]/4
    ※ c=aのとき,B問題67の問題となる。

  16. AB=(r1+r2){r12+r22+(r1+r2)√(r12+r22)}/(r1r2)
    (例)r1=3,r2=4のとき,AB=35

  17. (1) (-3+2√2+√(20-14√2))a
    (2) (5-3√2-2√(10-7√2))a

  18. (1) 順に,21/4,12/7,7/3,16/21
    (2) r2n-1=(21/4)×(4/9)n-1,r2n=(12/7)×(4/9)n-1

  19. rk=2rsinθsinkθsin(k+1)θ/{sinθ+sinkθ+sin(k+1)θ}

  20. 答→こちら

  21. 8/9
    (解)円O1,O2の半径をそれぞれr1,r2とおく。
    BC=BD+DE+EC
    =r1/tan(B/2)+2√(r1r2)+r2/tan(C/2)
    =aに
    a=5,r1=1/2,tan(B/2)=√{(1-cosB)/(1+cosB)}=1/2,
    tan(C/2)=1/3を代入すると,
    3r2+√2√r2-4=0
    √r2>0より
    r2=8/9・・・(答)

  22. 4ab√ab/(a+b)



  23. (1) A(23,33)
    (2) m=127,n=125

  24. (1) α555=-p5+5p3q-5pq2-5p2r+5qr より明らか。
    (2) α777=-p7+7p5q-7p4r-14p3q2+21p2qr+7pq3-7pr2-7q2r より明らか。
    (3) α999=-p9+9p7q-27p5q2+30p3q3-9pq4-9p6r+45p4qr-54p2q2r+9q3r-18p3r2+27pqr2-3r3 であるから
     rが3の倍数のとき,α999は9の倍数,
     rが3の倍数でないとき,α999は9の倍数でない。
    (4) α111111=-p11+11p9q-44p7q2+77p5q3-55p3q4+11pq5-11p8r+77p6qr-165p4q2r+110p2q3r-11q4r-33p5r2+110p3qr2-66pq2r2-22p2r3+11qr3 より明らか。
    証明→こちら


  25. (√6+√30)/24

  26. (1) 1/4
    (2) √10/10
    (3) √21/14
    (4) cos(π/n)/√(n+1)


  27. (1) {7・2n-1-3(-2)n-1+8(-1)n-1}/12
    (2) (2・4n-1-3n+1+9・2n-5)/6
    (3) {20+15(-1)n+15・2n+1+(-2)n+1-3n+1}/60

  28. 解答→こちら

  29. (1) √3/8
    (2) (√6+√2)/16
    (3) θ=5°

  30. 証明→こちら

  31. 証明略

  32. 12(61-6√61)/125

  33. (1) θ=10°,50°,70°
    (2) θ=5°,25°,35°,45°,55°,65°,85°
    解答例→こちら

  34. 略証
    公式:tanθ=tan3θtan(30°-θ)tan(30°+θ)に
    θ=1°,2°,3°,・・・,10°を代入し,
    辺々掛け合わせれば得られる。
    なお,公式の証明は前問の解答を参照のこと。

  35. (1) tanα=(b-a)/(a+b),tanβ=a/b
    (2) CD=b(b-a)/(a+b),DA=a(b-a)√(a2+4ab+5b2)/{(a+b)√(a2+b2)},AC=(b-a)(a+b)/√(a2+b2),BD=2√2ab2/{(a+b)√(a2+b2)}
    (3) AE=a(b-a)/√(a2+b2),BE=√2ab/√(a2+b2),CE=b(b-a)/√(a2+b2),DE=√2ab(b-a)/{(a+b)√(a2+b2)}
    (4) △EBC=ab2(b-a)/{2(a2+b2)},四角形ABCD=ab2(b-a)/(a2+b2)
     ※四角形ABCD=2△EBC

  36. APn2=knb2+(1-kn)c2-kn(1-kn)a2
    ※Stewartの定理あるいは余弦定理を使って,AP12=kb2+(1-k)c2-k(1-k)a2を利用する。

  37. S=m!n!(β-α)m+n+1/(m+n+1)!
    ※解答→こだわり数学35のNo.4を参照せよ。


  38. ※解答→こだわり数学42を参照せよ。


  39. ※解答→こだわり数学57を参照せよ。

  40. (1) (n-1)n(n+1)(3n+2)/24
    (2) (n-2)(n-1)n2(n+1)2/48
    (3) (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(15n3+15n2-10n-8)/5760
    ※解答→こだわり数学 9 を参照せよ。

  41. (1)
    M(a)について
     a≦(-3-√33)/6のとき,-a3+3a
     (-3-√33)/6<a≦0のとき,-a3-3a2+2
     0<a≦1のとき,2
     1<aのとき,-a3+3a
    m(a)について,  a≦-2のとき,-a3-3a+2
     -2<a≦-1のとき,-2
     -1<a≦(-3+√33)/6のとき,-a3+3a
     (-3+√33)/6<aのとき,,-a3-3a+2
    (2)
     k<(18-2√33)/9のとき,0個
     k=(18-2√33)/9,k>11/4のとき,2個
     k=11/4のとき,3個
     (18-2√33)/9<k<11/4のとき,4個

    ※解答→こちら

  42. (1) 2015
    (2) n+k

    解答→こちら

  43. 解答→こちら

  44. m3=163=4096
    ※因みに,n=66である。

  45. n4

  46. (1)
    nm
    337 195
    6552137829
    127108817338631
    2633436315204152
    3630744420962113
    3995784523069673
    4993092628827634
    6355440836693155
    7717789044558676
    8715097150316637
    (2)
    nm
    1699123710703809
    3859804824315247
    4118474525944764
    4377144227574281
    6279155639556202
    6537825341185719
    6796495042815236
    8957176156426674
    9215845858056191
    ※nが108以下